湖北省宜昌五中教联体2025-2026学年八年级（上）期中数学试卷

这是一份湖北省宜昌五中教联体2025-2026学年八年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a4B. (a2)3=a4C. 2a⋅3a=5a2D. 2a+3a=5a
3.如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 两点之间，线段最短
4.如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是( )
A. B.
C. D.
5.如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为( )
A. 4cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 3.5cm
6.观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+2ab+b2=(a+b)2
7.下列命题的逆命题中正确的是( )
A. 直角都相等B. 同旁内角相等
C. 全等三角形的对应角相等D. 同旁内角互补，两直线平行
8.在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘.如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞骨BD、CD的点B、C固定不动，且满足AB=AC，伞柄AP平分∠BAC，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是( )
A. ∠ABD=∠ACDB. AD平分∠BDC
C. 线段AD垂直平分线段BCD. AB=AD
9.如图，AB/​/CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 70°D. 45°
10.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF/​/AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF.则下列结论中：
①AD是△ABC的高；
②AD是△ABC的中线；
③ED=FD；
④AB=AE+BF．
其中正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知xa=4，xb=8，则xa+b的值为 ．
12.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的 ．
13.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠BAD的度数为 ．
14.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
15.如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM=8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN=9，则AC的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)5x2×(−2x2)3；
(2)a×a7−(−2a2)4．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x(x2−3)−(x+1)(x2−3x)，其中x=−12．
18.(本小题8分)
如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，求证：∠B=∠E．
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，点E在BC边上.AE=AB，AC=AF，且∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF=BC；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=30°，求∠FGC的度数．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点A1的坐标；
(3)求△A1B1C1的面积．
21.(本小题8分)
如图所示，某小区有一块长为(2a+3b)米，宽为(3a+2b)米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的面积S；
(2)若a=2，b=4，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积．
22.(本小题8分)
观察：
22−12=(2+1)(2−1)=2+1=(1+2)×22=3；
42−32+22−12=(4+3)(4−3)+(2+1)(2−1)=4+3+2+1=(1+4)×42=10；
…
探究：
(1)82−72+62−52+42−32+22−12=______(直接写答案)；
(2)求(2n)2−(2n−1)2+(2n−2)2−(2n−3)2+…+22−12的值；
应用：
(3)如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？(结果保留π)
23.(本小题8分)
【问题初探】
某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型．
(1)已知，AC=CE，∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请在图1和图2中选择一个模型证明△ABC≌△CDE．
【内化迁移】
(2)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为射线BC上一动点(点D不与点B重合)，连接AD，以AD为直角边，在AD的右侧作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．
①如图3，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥AC于F，CD=1，EF=3，求CF的长度；
②如图4，连接BE交直线AC于点M，点D在运动过程中，若BC=3，BD=3AM，请直接写出BD的长．
24.(本小题11分)
如图1，平面直角坐标系中A(0,a)、B(b,0)分别为y轴正半轴、x轴正半轴上的点，且a、b满足(a−b)2=0．
(1)求∠ABO的度数；
(2)如图2，点C为线段OB上一点，OB=3OC，D与C关于y轴对称，直线DP⊥AC交AB于点P．
①连接AD，求证：AD=DP；
②求APBP的值；
(3)如图3，点E(OE>OB)为x轴负半轴上一动点，以AE为直角边作等腰直角△AEF，连接BF交y轴于点Q，请问：EO−BOAQ的值是否为定值？如果是定值，请求出其值；如果不是，请求出其取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、该图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的定义，逐项判定即可．
本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项不符合题意；
C、2a⋅3a=6a2，故此选项不符合题意；
D、2a+3a=5a，故此选项符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则分别计算判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：C．
根据三角形的稳定性解决问题．
本题考查三角形的稳定性，直线、线段的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握三角形的稳定性．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．
根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】
解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线，垂足为D，
纵观各图形，A、B、C都不符合题意，
D符合高线的定义．
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=4cm，BC=BD=7cm，
∴EC=BC−BE=7−4=3cm，
故选：B．
由△ABC≌△EBD，可得AB=BE=4cm，BC=BD=7cm，根据EC=BC−BE计算即可．
本题考查全等三角形的性质，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
6.【答案】A
【解析】解：图1：长方形的面积为：(a+b)(a−b)，
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2−b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：(a+b)(a−b)=a2−b2．
故选：A．
根据边长为a的正方形剪掉边长为b的正方形的面积和长方形的面积相等，进行判断即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据剪拼前后图形的面积相等求解是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、直角都相等，逆命题是相等的角是直角，逆命题不正确，不符合题意；
B、同旁内角相等，逆命题是相等的角是同旁内角，逆命题不正确，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题正确，符合题意；
故选：D．
把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据直角、同旁内角的概念、全等三角形的判定、平行线的性质判断．
本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
8.【答案】D
【解析】解：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ADC，BD=CD，
∴AD平分∠BDC，AD垂直平分BC，
故选：D．
由“SAS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ADC，BD=CD，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由作法得AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠CAM，
∵AB/​/CD，
∴∠BAC=180°−∠ACD=180°−110°=70°，
∴∠BAM=12∠BAC=35°，
∵AB/​/CD，
∴∠CMA=∠BAM=35°．
故选：B．
先根据平行线的性质得到∠BAC=70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM=∠CAM=35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．
此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等．
10.【答案】A
【解析】解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC=∠FBD，
∵AC/​/BF，
∴∠C=∠FBD，
∴∠C=∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD=BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE=DH，
∵AC/​/BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴DE=DF，所以③正确；
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
AD=ADDE=DH，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AH=AE，
同理可得BH=BF，
∴AB=AH+BH=AE+BF，所以④正确．
故选：A．
利用平行线的性质∠C=∠FBD，则可证明∠C=∠ABC，于是可根据等腰三角形的性质对①②进行判断；过D点作DH⊥AB，如图，利用角平分线的性质得到DE=DH，DH=DF，则可对③进行判断；证明Rt△ADE≌Rt△ADH得到AH=AE，同理可得BH=BF，则可对④进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
11.【答案】32
【解析】解：∵xa+b=xa⋅xb，xa=4，xb=8，
∴xa+b=4×8=32，
故答案为：32．
根据同底数幂的乘法公式进行转化，再整体代入计算便可．
本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】中线
【解析】解：∵由三角形的面积计算公式可知：
∴三角形的中线可以把三角形平分为面积相等的两部分，
∴综上所述：图中所作线段AD应该是△ABC的中线，
故答案为：中线．
根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
本题考查的是三角形的面积计算，熟练掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
13.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，∠CBD=90°，
∴AB=BD，∠ABD=150°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴∠BAD=180°−∠ABD2=180°−150°2=30°2=15°，
故答案为：15°．
由题意易得AB=BC，∠ABC=60°，则有AB=BD，∠ABD=150°，然后根据三角形内角和可进行求解．
本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】1.5或4
【解析】解：设三角形ABC中，第三条边AB=x，AC=2，BC=3，
等腰△ABC是“倍长三角形”，
①当AB=2AC，即x=4，
∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意，
②当AC=2BC，即x=6，
∴△ABC三边分别是2，3，6，
∵2+3