初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）14.2 三角形全等的判定复习练习题

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1．如图，BC⊥AC于点C，BD⊥AD于点D，连接AB，且AC=AD，则可直接判定△ABC≌△ABD的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．HL
【答案】D
【详解】解：∵AC⊥BC,AD⊥BD，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵在Rt△ABC和Rt△ABD中
AB=ABAC=AD ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故选：D．
2．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N=90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【答案】D
【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′=BC，第二步为作线段C′A′=CA，判定方法为HL；
故选：D．
3．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中能利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）
A．AC=A′C′,∠A=∠A′B．AB=A′B′,∠A=∠A′
C．AC=A′C′,BC=B′C′D．AC=A′C′,AB=A′B′
【答案】D
【详解】A．AC=A′C′,∠A=∠A′，加上∠C=∠C′=90°，可利用ASA证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，故不符合题意；
B．AB=A′B′,∠A=∠A′，加上∠C=∠C′=90°，可利用AAS证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，故不符合题意；
C．AC=A′C′,BC=B′C′，加上∠C=∠C′=90°，可利用SAS证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，故不符合题意；
D．AC=A′C′,AB=A′B′，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，故符合题意；
故选：D．
4．如图，∠D=∠E=∠ACB=90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件有（ ）
① ∠ABC=45°； ② AD=CE； ③ AC=2AD； ④ CD=BE
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即斜边和一条直角边对应相等，
∴ ② AD=CE和④ CD=BE满足定理“HL”，
①满足AAS定理可证明Rt△ADC≌Rt△CEB
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，且DE=DC，AC=BE，若BD=4，则AD= ．
【答案】4
【详解】∵在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AD边上一点，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDE中，
AC=BEDC=DE，
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL)，
∴AD=BD=4．
故答案为：4．
6．如图，AB⊥CD，ED⊥CD，垂足分别为B，D，且EC=CA，ED=CB．求证：∠ECD=∠CAB．
【详解】证明：∵AB⊥CD，ED⊥CD，
∴∠D=∠ABC=90°，
在Rt△EDC和Rt△CBA中，
EC=CAED=CB，
∴Rt△EDC≌Rt△CBAHL，
∴∠ECD=∠CAB．
7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．
(1)求证：DE=DF；
(2)已知AC=14，BE=2，求AB的长．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFDHL，
∴DE=DF；
（2）解：∵AC=14，BE=2，BE=CF，
∴AF=AC−FC=AC−BE=12，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)
∴AE=AF=12，
∴AB=AE−BE=10．
8．小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．
【答案】HL
【详解】解：如图2中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．
∵尺的宽度相等，
∴PM=PN，
∵PM⊥OA.PN⊥OB，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
OP=OPPM=PN，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，
∴∠POM=∠PON，
∴OP平分∠AOB，
画法的依据是：HL．
故答案为：HL．
9．证明：斜边上高线和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图所示，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°，CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，垂足分别为D，D′，且AC=A′C′，CD=C′D′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′．
【详解】证明：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，
∴△ACD和△A′C′D′为直角三角形．
∵Rt△ACD和Rt△A′C′D′′中，
AC=A′C′CD=C′D′，
∴Rt△ACD ≌Rt△A′C′D′HL，
∴∠CAB=∠C′A′B′．
∵Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠CAB=∠C′A′B′AC=A′C′∠ACB=∠A′C′B′，
∴Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ASA．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，当运动时间为多少秒时，△ABC和△PQA全等．
【详解】解：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=8cm=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
AB=PQBC=AP，
∴Rt△ACB≌Rt△QAPHL，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，
∴8÷2=4，
所以运动时间为4秒；
②当AP=16cm=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
AB=PQAC=AP，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQHL，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟2cm，
∴16÷2=8，
所以运动时间为8秒；
综上：当运动时间为4秒或8秒时，△ABC和△PQA全等．
11．学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．并思考要想解决问题，应把∠B分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：
(1)第一种情况：当∠B是直角时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
(2)第二种情况：当∠B是锐角时，如图，BC=EF， ∠B=∠E90°，求证：△ABC≌△DEF．
【详解】（1）解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFBC=EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL；
（2）解：如图①，
DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．
故选：B；
（3）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵∠ABC=∠DEF，
∴180°−∠ABC=180°−∠DEF，即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∠CBG＝∠FEH∠G＝∠H＝90°BC＝EF，
∴△CBG≌△FEHAAS，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC＝DFCG＝FH，
∴Rt△ACG≌Rt△DFHHL，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D∠ABC＝∠DEFAC＝DF，
∴△ABC≌△DEFAAS．