北京市海淀区北京理工大学附属中学分校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市海淀区北京理工大学附属中学分校九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程，配方正确是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．
【详解】解：把方程x2-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4+1，
配方得（x-1）2=5．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
2. 抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A. (4，﹣5)，开口向上B. (4，﹣5)，开口向下
C. (﹣4，﹣5)，开口向上D. (﹣4，﹣5)，开口向下
【答案】A
【解析】
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．
【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4，﹣5)．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.
3. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根．
【详解】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．
4. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 两组邻边分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法进行判定即可．
【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6. 若二次函数的图像过，，，则，，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数抛物线开口向上，且对称轴为．根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该函数的对称轴为：，
∴点A到对称轴的距离为：，
点B到对称轴的距离为：，
点C到对称轴的距离为：，
∵，
∴该函数图象开口向上，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
7. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值5，有最小值B. 有最大值0，有最小值
C. 有最大值4，有最小值D. 有最大值4，有最小值0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴二次函数图像的对称轴为：，抛物线开口向下，
∴在的取值范围内，当时，函数取最大值，
当时，函数取最小值，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．
8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
9. 已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方式是解答此题的关键．
由根与系数的关系得到，，再把式子变形代入求值即可．
【详解】解：∵，分别是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选B．
10. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果x＝2是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无实数根，则它的倒方程也无实数根；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】将x=2代入+2x+c＝0的倒方程中求出c可判断①；根据判别式与根的关系结合一元二次方程的定义可判断②③④，进而可得出结论．
【详解】解：①的倒方程为+2x+1＝0，
将x=2代入+2x+1＝0中，得4c+5=0，
解得：，故①正确；
②∵ac＜0，
∴两个方程都是一元二次方程，它们的判别式都是，
当ac＜0时，＞0，
故这两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确；
③如果一元二次方程﹣2x+c＝0无实数根时，
则，即ac＞1，
那么它的倒方程－2x+a＝0也是一元二次方程，
判别式为，
∴它的倒方程也无解，故③正确；
④如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则＞0，
它的倒方程+bx+a＝0，
当b≠0，c=0时是一元一次方程，只有一个实数解，
所以如果一元二次方程+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程不一定也有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义、方程的解、解一元一次方程，解题关键是理解新定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根，还要注意一元二次方程的二次项系数不为0．
二、填空题（每小题3分，共27分）
11. 写出一个以0，1为根的一元二次方程_____________________．
【答案】或
【解析】
【详解】分析：先根据1+0=1，1×0=0，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程．
详解：∵1+0=1，1×0=0，
∴以1和0的一元二次方程可为x2-x=0．
故答案为x2-x=0或．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
12. 关于的方程的一个根为，则另一个根是________．
【答案】
【解析】
【分析】设另一个根是a，根据“若，是一元二次方程的两个实数根，则，”，即可求解．
【详解】解：设另一个根是a，
∵关于的方程的一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 抛物线的对称轴是直线________，顶点坐标是________，图象不经过第________象限．
【答案】 ①. x=1 ②. （1，1） ③. 二
【解析】
【分析】将抛物线的表达式化为顶点式即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴函数的对称轴为：x=1，顶点坐标为：（1，1），
∵函数开口向下，顶点坐标在第一象限，当x=0时，y=0，
∴函数图像不经过第二象限．
故答案为：x=1，（1，1），二
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，根据函数的表达式找出函数的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
14. 如果二次函数的图象与y轴的交点为，那么______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】把代入函数解析式即可求出的值．
【详解】解：把代入得，
，解得，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．
15. 抛物线与x轴的交点坐标为_______，与y轴交点坐标为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】令 则解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令 则 可得抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】解：令 则
∴
解得：
∴抛物线与x轴的交点坐标为
令 则
∴抛物线与y轴交点坐标为
故答案为：；
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本题的关键.
16. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，根据对称性即可求得另一个交点，进而求得方程ax2+bx+c＝0的解．
【详解】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，
∴另一个交点为，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为
故答案为：
【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
17. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在中，DH=，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10-=4，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
18. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出OC=3，OD=5，进而利用勾股定理得出CD的长，利用三角形中位线的性质得出OE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，AC=6，
∴OC=3，OD=5，
∵∠OCD=90°，
∴，
∵E是BC边的中点，O是BD的中点，
∴2OE=CD，
∴OE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质．
19. 已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图像上，则；④．其中一定正确的结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断③，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开口向下，判断出当x＜-2或者x＞m时，函数值y＜0，即可判断④．
【详解】∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且，
∴抛物线图象与x轴的两个交点分别在y轴两侧，
又∵抛物线图象交于y轴正半轴，
∴a＜0，故①正确；
∵抛物线图象与x轴交于两点，
∴一元二次方程有两个不相等的根，
∴，
∵a＜0，
∴，故②正确；
∵图象与x轴交于A（−20）和B（m,0），其中2＜m＜4，
令当m=2时，即有B（2,0），此时对称轴为：，
当m=4时，即有B（4,0），此时对称轴为：，
∴抛物线的对称轴的范围为：，
当对称轴接近x=0时，即对称轴离点A更近，有，
当对称轴接近x=1时，即对称轴离点B更近，有，
∴与的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（−2,0），
∴4a−2b＋c＝0，
∴4b＝8a＋2c，
∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且，
又∵上述两个交点分别在y轴两侧，且开口向下，
∴当x＜−2或者x＞m时，函数值y＜0，
∴当x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，
∴，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开口向下，判断出当x＜-2或者x＞m时，函数值y＜0，是关键．
三、解答题（第20题8分，第21题4分，第22－24题各6分，第25题7分，共43分）
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）将方程化为一般形式，然后利用公式法求解．
【小问1详解】
解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：方程整理得：，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同解法是解题关键．
21. 已知是方程的一个实数根，求代数式的值．
【答案】11
【解析】
【分析】根据方程根的概念可得，将所求代数式变形为，然后利用整体代入的方法进行求解即可得．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键．
22. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在上图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．
（4）当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，结合点（-1，2）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）描点、连线，画出函数图象；
（3）找出函数图象在x轴上方的部分，此题得解；
（4）在y=x+n中，令x=-1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点（-1，0），（1，0），
∴设二次函数的表达式为，
∵二次函数经过点（-1，2），
∴-4a=2，
∴a=，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：描点、连线，画出图形如图所示．
；
【小问3详解】
解：观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，
∴当y＞0时，自变量x的取值范围为-3＜x＜1；
【小问4详解】
解：∵顶点坐标为（-1，2），
在y=x+n中，令x=-1代入可得y=-1+n，
∵抛物线的顶点在直线y=-x+n的下方时，
∴-1+n＞2，解得n＞3，
故答案为：n＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合交点坐标找出不等式的解集；（4）观察函数图象结合顶点坐标找出不等式的解集．
23. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
24. 如图，的对角线，交于点O，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设，交于F，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，过E作交的延长线于H，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，由矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：设，交于F，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
如图，连接，过E作交的延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25. 在平面直角坐系中，已知抛物线G：．
（1）当时，
①抛物线G的对称轴为直线 ；
②若抛物线上有两点，，且，m的取值范围是 ；
（2）已知点)，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
【答案】（1）①1；②或
（2）或
【解析】
【分析】（1）①先确定抛物线解析式，然后根据对称轴的直线解析式求解即可；②根据抛物线的对称性得出关于对称轴对称的点为，再由二次函数的增减性质即可得出结果；
（2）由函数解析式确定对称轴及对称轴与x轴的交点M，然后分别将点A、B、M点的坐标代入抛物线确定出相应的a的值，作出函数图象，结合函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：当时，抛物线解析式为，
①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
②由①得抛物线的对称轴为，则关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大；
∴时，或，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：根据题意得：抛物线G与线段恰有一个公共点，
的对称轴为，
对称轴与x轴的交点坐标为点，
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，作出函数图象如图所示：
结合函数图象得：或时，抛物线G与线段恰有一个公共点．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及确定函数值的取值范围，函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握二次函数的基本性质结合函数图象求解是解题关键．
26. 在等腰直角三角形中，，.点为直线上一个动点（点不与点，重合），连接，点在直线上，且.过点作，点，在直线的同侧，且，连接.
（1）情况一：当点在线段上时，图形如图所示；
情况二：如图2，当点在的延长线上，且，请依题意补全图；
（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）图形如下
（2）证明如下；
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质．
（1）根据题意，补充图形，即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，则，根据，则，根据，即可；过点作交直线于点，根据等边直角三角形，，根据，
则，根据等量代换，得，；再根据全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可．
【小问1详解】
图形如下：
【小问2详解】
根据情况一，即图
证明如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
过点作交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
2
0
…