北京市平谷区九年级上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市平谷区九年级上学期期末数学试题（解析版）-A4，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【详解】解：∵，，，
，
．
故选：D．
2. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
故选：A．
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可．
【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴所得到的抛物线的表达式为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键．
4. 如图，点A、B、C为上三点，，，弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，以及弧长公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用圆周角定理得到，再结合弧长公式求解，即可解题．
【详解】解：，，
，
，
弧的长是，
故选：A．
5. 如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
6. 点A（1，），B（3，）是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图像上的点的坐标特征，将A、B两点坐标带入反比例函数解析式可计算出和的值，即可比较大小．
【详解】解：，是反比例函数图象上的两点，
将点 带入函数式得，，
．
7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，，，
则，
解得：，
，
最佳加工时间为3.75分钟，
故选：B．
8. 如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（ ）

A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断②；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③；
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴ ，故①正确；
∵
故当时，，
∵是变化的，
∴不一定相似，故②错误；
当点重合时，最大，此时 ，
当时， 最小，
此时，
∵， ，
∴，
∴，
∵点D是边上一点（不与点B、点C重合），
∴，故③正确；
故选：B．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥2．
【解析】
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【详解】解：2x﹣4≥0
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件.
10. 若，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了代数式的求值问题，解题的关键是用表示出，利用消元的思想求解．
【详解】解：，
，
故答案为：．
11. 如图，身高米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子长2米，则路灯的高为_____米．
【答案】8
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．根据，得出，进而得出比例式求出即可．
【详解】解：由题意知，米，米，米，，
则米，
∵，
∴，
∴，即，
解得（米），
即路灯的高为8米．
故答案为：8．
12. 如图，在中，AB是直径，C，D，E是上的点，如果，，那么的长为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点O作，垂足分别是H，F，由垂径定理得到，，得到，证明，又由，即可证明，则，得到．
【详解】解：过点O作，垂足分别是H，F，
则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
13. 若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令，得，根据抛物线的顶点在x轴上知方程有两个相等的实数根，根据列式求解即可．
【详解】解：令，得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴方程有两个相等的实数根，
∴
解得，，
故答案为：．
14. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）．
【答案】=
【解析】
【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为．
【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以．
15. 中国古代建筑中的斜脊结构，既有利于排水，又有利于保温，是古代工匠智慧的体现．.如图，房屋的屋顶截面结构为等腰三角形，若斜脊AB的坡度i为，房子侧宽为12米， 则斜脊的长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了坡度、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，过点作于点H，则，由等腰三角形的性质得到米，根据斜脊AB的坡度i为得到，则米，利用勾股定理即可求出斜脊的长．
【详解】解：过点作于点H，则，如图，
∵是等腰三角形，
∴米，
∵斜脊AB的坡度i为，
∴，
∴米，
∴，
故答案为：
16. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）．
（1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 ___个展馆；
（2）若展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 _______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本题考查了时间的计算，有理数的运算；
（1）根据题意明明有3个小时即180分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答．
（2）根据题意结合时间表，因为的时间和为90分钟，所以既不浪费时间又必须参加展馆只能是．
【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为D（15分钟）、B（30分钟）、C（45分钟）、A（60分钟）、E（60分钟），F（90分钟）最多可以参观完四个展馆．
（2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观F展馆90分钟，正好去参观B展馆30分钟，正好去参观E展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解．
故答案为：4，．
三、解答题（本题共68分，第17、18、19、20、21、22题，每小题5分；第23、24、25、26题，每小题6分；第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则．
此题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式
．
18. 如图，四边形是平行四边形，于点E，点E恰为中点，于点F，当，时，求的长．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明得，再由中点的性质得，进而得，即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，E是中点，
∴，
∴，
∴．
19. 已知：如图，中，．
求作：线段，使得点D在线段上，且．
作法：①以点A为圆心，长为半径画圆；
②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P（不与点B重合）；
③连接交于点D．线段就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
，
∴点C在上．
点P在上，
（_________）（填推理的依据）．
，
_________．
．
【答案】（1）见解析；（2）一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，
【解析】
【分析】（1）根据题目提供的作法作图即可；
（2）根据圆周角定理证明即可．
【详解】解：（1）补全图形，如下图．
（2）证明：连接．
，
∴点C在上．
点P在上，
（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
，
．
．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．．
【点睛】此题主要考查了圆的有关作图，熟练掌握圆财迷角定理是解答此题的关键．
20. 已知二次函数几组与的对应值如下表：
（1）直接写出的值，____；
（2）求此二次函数的表达式．
【答案】（1）
（2）二次函数的表达式为
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、运用待定系数法求函数解析式等知识点，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接运用二次函数图像的对称性解答即可；
（2）由题意可得二次函数图像的顶点坐标为，然后设该二次函数表达式为：，再将代入求得即可解答．
【小问1详解】
解：∵二次函数图像经过点1,0和，
∴该二次函数图像的对称轴为直线．
∴当和时的函数值相等，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题意可知：二次函数图像的顶点坐标为 ，
∴设该二次函数表达式为：，
将点代入得：，
∴，
∴．
21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，求轮子的吃水深度．
【答案】轮子的吃水深度米
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
根据题意可得，米，则米，在中，运用勾股定理可得米，然后根据即可得解．
【详解】解：根据题意可得，，米，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
∴轮子的吃水深度米．
22. 湖光塔坐落在平谷区金海湖中心岛的山顶，七层八角形楼阁式建筑挂满风铃，微风吹过，玲声悠扬，是金海湖景区的主要景观之一.某校组织九年级学生到金海湖景区参加社会实践活动，数学小组的同学最初的目标是测量湖光塔的高度，但是他们通过网络搜索发现，网上可以查到湖光塔的塔高为30米，所以他们把任务确定为测量湖光塔所在的中心岛小山的高度，数学小组设计的方案如图所示，他们在点C处用测角仪测得塔顶A的仰角为，此时，由于树木的遮挡，看不清塔底，他们延水平方向向后走64米在点D处用测角仪测得塔底B的仰角为．请根据他们网上查到的数据和测量数据求中心岛小山的高度约为多少米．（参考数据：）
【答案】小山高度约为94米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意可设米，则米，由列方程求解即可．
【详解】解：设米，
由题意，，
，
∴，
，
解得，，
答：小山高度约为94米．
23. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是A．
（1）求a和的值；
（2）当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出；
（2）同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可．
【小问1详解】
解：把代入得到，，
解得，
∴，
把代入得到，
解得；
【小问2详解】
由（1）可知，函数即为函数，
当时，，
当过点时，，解得，即，
当时，为，与平行，
如图，
根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时
24. 如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由为的直径得，由等边对等角和等量代换得，结合可证，进而可证为的切线；
（2）证明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴为的切线
【小问2详解】
∵为的切线
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得，
∵
∴
由勾股定理得，
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
25. 某客运站为了了解早高峰时间段运营情况，有效的缓解该时段乘客的等待时间，对早上时间段内，客运站累计候车人数和累计承载人数进行统计，为了便于记录，将早上开始每10分钟记作一个单位时间，记为时间x（），累计候车人数记为，累计承载人数记为．
下面是他们的调查过程，请补充完整：
（1）他们调取了客运站该时段内累计候车人数与累计承载人数随x的变化而变化的有关数据∶
（1）补全表格，m的值为_______；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全表中各对对应值为坐标的点，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①大约______点______分时，客运站滞留人数最多；
②客运站将在滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间段增派车次缓解供需压力，公司约在______点______分至______点______分时间段增派车次更合理．
【答案】（1）6 （2）图见解析
（3）①7，20；②6，45；7，45
【解析】
【分析】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系：
（1）观察表格可知，每增加1，增加0.5，进行求解即可；
（2）根据表格数据，描点，连线，画出函数图象即可；
（3）①求出的最大值，即可得出结果；②确定滞留乘客人数达到0.5万人及以上的时间范围，作答即可．
【小问1详解】
解：观察表格可知，每增加1，增加0.5，
∴当时，；
【小问2详解】
描点，连线，画出函数图象如图：
【小问3详解】
①由图象可知，当时，滞留旅客最多为：（万人），分钟，
∴6点，经过80分钟，得到现在时间为：点分；
故答案为：7，20；
②观察图象可知：从时，（万人）到时，（万人），
滞留旅客人数均超过0.5万人，
即：从6点50一直到7点50之间滞留旅客人数均超过0.5万人，
∴公司约在6点45分至7点45分时间段增派车次更合理．
26. 在平面直角坐标系中，已知二次函数．

（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标；
（2）将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线与轴的两个交点和
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，抛物线的图象和性质，解不等式等；熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，令，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）先将抛物线整理为顶点坐标式，求出顶点坐标和对称轴，令，列出一元二次方程，解方程求出抛物线与轴的交点坐标， 结合抛物线的性质和题意，画图，列出不等式，即可求解．
小问1详解】
解：当时，，
令，得，
解得，，
∴抛物线与轴的两个交点和；
【小问2详解】
解：由，
得出抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为，
令，得，
解得，，
∴抛物线与轴的两个交点和；
由题意，图象G如图所示，分以下两种情况：
当时，如图：

此时，满足，则 ，
解得，，
当时，如图：

此时，满足，则，且抛物线的对称轴，
即，
∴ 或．
27. 中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、．
（1）如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______；
（2）判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明．
【答案】（1），
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转可得：，，得到是等边三角形，推出，，根据三角形的外角性质可推出，进而得到，，得到，推出垂直平分，得到，推出，可求出，最后根据勾股定理即可求解；
（2）连接，由直角三角形的斜边中线定理可得：，推出，得到，由旋转可得：，，
推出，可得，证明，得到，即可证明．
【小问1详解】
解：由旋转可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
点是边中点，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
，证明如下：
选择图2，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即；
选择图3，连接，
，点是边中点，
，
，
，
由旋转可得：，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识．
28. 我们给出如下定义：在平面内，已知点M和图形G，点M到图形G上所有点的距离的最小值称作点M到图形G的距离．

（1）平面直角坐标系下，已知点，以O为圆心，1为半径画圆，则点P到的距离为_____；
（2）平面直角坐标系下，已知点，在平面内有一个矩形，．
①当矩形绕着点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围为______．
②若M为矩形上一点，连接，以为直径画圆，记作圆G，则点P到圆G的距离d的取值范围为______．
【答案】（1）2 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据点到圆上距离即可解答；
（2）①根据题意分别求出当过中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解．由题意可得，点O为矩形的对称中心，连接，求出；
②根据题意：点是的中点，点在长为，宽为的矩形边上运动，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值，当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值，据此即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意，与y轴正半轴的交点为，
则点P到的距离为；
【小问2详解】
解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，
∴；
如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，
矩形，中心为O，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，，
∴；
综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为；
②根据题意：点是的中点，
∴点在长为，宽为的矩形边上运动，
如图，当点M为中点时，连接，点P到圆G的距离有最大值，
此时，，
∴，
∴；
当点M与点重合，点P到圆G的距离有最小值，
此时，，，
∴，
∴；
综上，点P到圆G的距离d的取值范围为．
【点睛】本题考查了点到圆上的距离，坐标与图形，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，正确画出示意图，利用数形结合的思想是解题的关键．
展馆
A
B
C
D
E
F
专业讲解
无
每半小时一场，共3场
无
无
每1小时一场，共2场
无
参观所需时间（分钟）
60
30
45
15
60
90
时间段
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
累计候车人数 （万人）
0.5
1.1
1.6
2.2
2.9
3.6
4.2
5.1
5.7
6.0
6.3
6.5
6.6
累计承载人数 （万人）
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
m
6.5