北京市海淀区中国人民大学附属中学分校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市海淀区中国人民大学附属中学分校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2024年11月6日
说明：本试卷共三道大题28道小题，共7页，满分100分，考试时间120分钟．
请将答案全部作答在答题纸相应的位置上．
第一部分 选择题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，该选项不符题意；
、不是中心对称图形，该选项不符题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符题意；
故选：．
2. 将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】解：二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，
得：y=2（x-1）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
3. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，连接 ，由圆周角定理可得，进而根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4. 抛物线的顶点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数解析式之间的转化，根据抛物线顶点式求解．
5. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：方程整理成一般式为，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别，
故选：．
6. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由题意得：等边三角形，
∴，
∵它们都是旋转角，而它们的和为，
∴图案绕其中心旋转后能与自身重合，
故选：D．
7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】∵时，；时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵时，随的增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴和时，函数值相等，
∴，
∴的取值范围是，
故选：．
8. 如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论：
①存在无数个是等边三角形；
②存在无数个是等腰直角三角形．
关于这两个结论的说法，正确的是（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①正确，②正确D. ①错误，②错误
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，由等边三角形的性质可得，，当可得，即得，即得到，得到是等边三角形，有无数，即可判断①；再根据等腰直角三角形的定义画出图形可判断②，综上即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图中，
∵是等边三角形，
∴，，
当时，可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形，这样的三角形有无数个，
如图中，当，时，是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，见图，
∴①正确，②正确，
故选：．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为，
故答案为：．
10. 关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
11. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺，
根据勾股定理可列方程：，
故答案为：．
12. 如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，是圆的切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 为圆上的两个定点，是上的动点（不与重合），若圆半径为，，则的度数为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，由已知得，即得是等边三角形，得到，再分点在优弧和劣弧两种情况，根据圆周角定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当点在优弧时，；
当点在劣弧时，；
∴的度数为或，
故答案为：或．
14. 1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是_____．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴点关于直线，的对称点为，
∵，
∴或，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，圆周角定理，度所对的直角边是斜边的一半，由三角形中位线的性质得，即可得当是的直径时，取最大值，利用直角三角形的性质求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵点是上的一个动点，
∴当是的直径时，的值最大，
当是的直径时 ，，
∵，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
16. 小聪在研究一个数字游戏，具体规则如下：
①第一轮的初始数字为85，经过若干轮，变换至91即为游戏胜利；
②每轮只能在以下两种变换中选择一种进行变换；
变换：将本轮初始数字乘以2；变换：将本轮初始数字减去3；
③每轮变换后得到的结果作为下一轮的初始数字．
（1）小聪想利用除以3的余数分析：，．上式表明型的数经过一次变换后变为型的数，型的数经过一次变换后变为型的数．据此推断，想要游戏胜利至少需要进行_____次变换；
（2）在变换进行次数最少的前提下，想要游戏胜利至少要进行_____次变换．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是数的整除，数字类的规律探究；
（1）由型的数经过一次变换后变为型的数，型的数经过一次变换后变为型的数，变换B不改变数的形式，再进一步分析即可；
（2）分两种情况讨论：先进行A变换；先进行B变换；再分析即可．
【详解】解：（1）初始数字为85，，
∴85属于型，
同理：，
∴91属于型，
∵型的数经过一次变换后变为型的数，型的数经过一次变换后变为型的数，
∴变换A必须要偶数次才可以得到余数为，
∵变换B不改变数的形式，
∴想要游戏胜利至少需要进行次变换；
故答案为：；
（2）先进行A变换；
∵两次A变换后数字为，
而，
此时需要进行次B变换；
先进行B变换；
∵任意数的2倍是偶数，而是奇数，
∵进行一次B变换可得，
∴进行次B变换可得：，
进行一次A变换可得：，
进行一次B变换可得，
进行一次A变换可得：，
进行一次B变换可得，
∴；
∴在变换进行次数最少的前提下，想要游戏胜利至少要进行次变换．
故答案为：．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：；
【答案】，
【解析】
【分析】方程两边都加上1，配成完全平方形式，然后求解即可（或用公式法求解）．
【详解】解：，
，，，
∴，．
18. 已知实数是的根，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
∴
．
19. 如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为，
（1）线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、；
（2）线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）．
【答案】（1）画图见解析
（2）
【解析】
【分析】（）根据轴对称图形和旋转性质作图即可；
（）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解；
本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，、即所求；
【小问2详解】
解：如图，
∵，，
∴，
∴与的关系为．
20. 已知：关于的一元二次方程
（1）求证；该方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解．
【答案】（1）证明见解析
（2），，
【解析】
【分析】（）求出的值，进而即可求证；
（）当时，方程为，方程的解均为整数，解方程即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
解得，．
21. 已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线．
作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；
②作的角平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；
④作直线，．
所以直线，为的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，平分，
（ ① ）（填推理的依据）．
为的直径，，在上，
（ ② ）（填推理的依据）．
半径，半径．
直线，为的切线（ ③ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析；
（2）等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；②作的角平分线，交于点；③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；④作直线，，则直线，为的切线；
（2）连接，，根据等腰三角形的性质得到，再得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；
②作的角平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；
④作直线，，
∴直线，为的切线，如图：
【小问2详解】
证明：连接，，
，平分，
（等腰三角形三线合一），
为的直径，，在上，
（直径所对的圆周角是直角），
半径，半径，
直线，为的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
故答案为：等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
22. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？
【答案】圆O的半径为米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
设圆O的半径为米，则米，
∵，为1.8米，
∴米，
∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，
∴米，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴圆O的半径为米．
23. 某公司对其产品的年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据：
（1）请你补全表格中的数据；
（2）请在下面平面直角坐标系中描出点；
（3）解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元．
【答案】（1）补全表格见解析
（2）画图见解析 （3），
【解析】
【分析】（）把的值代入关系式求出的值即可补全表格中的数据
（）根据表格数据画图即可；
（）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：把，代入，得，
∴补全表格中的数据如下：
【小问2详解】
解：描点如下：
【小问3详解】
解：∵，
∴当，即时，取最大值，最大值为，
故答案为：，．
24. 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为；
拱桥最高处到水面的距离为9米．
（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式；
（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
【答案】（1）
（2）5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设顶点式，利用待定系数法求解；
（2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞．
【小问1详解】
解：由题意，抛物线的顶点，点，
设二次函数解析式为，
将点代入得，
解得，
二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由题意，当时，，
或．
可设计赛道的宽度为．
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条，
条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞．
25. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由是的直径，的半径为5，得，，则，求得，由，即可求得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
是的直径，，的半径为5，
，，
，
，，
，
，
，
的长是．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（）把代入函数解析式，进而转化为顶点式即可求解；
（）由已知可得，再分和两种情况，列出不等式组解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线；
【小问2详解】
解：∵和是抛物线上的两点，
∴，，
∵，
∴，
①当时，，
∴或，
∴或，
∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴；
②当时，，
∴或，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，或．
27. 如图，是等边三角形．是延长线上一点，连接并延长至点，使得．连接并延长，与延长线交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，的数量关系并证明．
【答案】（1）补图见解析
（2）证明见解析 （3），证明见解析
【解析】
【分析】（）根据题意补全图形即可；
（）设，，可得，，根据三角形内角和定理得，即得，即得到，即可求证；
（）作，交于，可证，得到，，进而即可求证．
【小问1详解】
解：补全图形如下：
【小问2详解】
证明：设，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图，作，交于，则，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：如果图形上与点的距离为正整数的点恰有个，则称为图形关于点的特征值，记为．如图，已知的半径为．直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）当时，_____；
（2）若在线段上存在点，使得是奇数，直接写出的取值范围；
（3）若对于线段上任意一点，都有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算、直线和圆的位置关系、一次函数的图象与性质，理解新定义是解题的关键．
（1）当时，直线与轴交于点，得出点在上，再根据新定义运算即可求解；
（2）先求出点的坐标和的长，设点到点的距离为，根据点和的位置关系分情况讨论，结合题意得出点必定在上，即线段与有交点，再利用圆的性质和一次函数的性质即可求出的取值范围；
（3）根据题意，结合（2）中的结论分析可知线段在外，且满足，过点作线段的垂线，垂足为，则，再结合、、的长进行分类讨论，得出符合题意的的取值范围，即可解答．
【小问1详解】
解：当时，直线与轴交于点，
，
点在上，
上的点与点的距离最小值为0，最大值为2，且取到最值的点都只有1个，
由圆的对称性可知，上与点的距离为1的点有2个，
上与点的距离为正整数的点恰有个，
∴，
故答案为：3．
【小问2详解】
解：令，则，解得，
令，则，
，，
，
设点到点的距离为，
当点在内，则上的点与点的距离最小值为，最大值为，
此时，
由圆的对称性可知，上与点的距离为1的点有2个，此时为偶数，不符合题意；
当点在外，则上的点与点的距离最小值为，最大值为，
当是正整数时，则也是正整数，由圆的对称性，上与点的距离为正整数的点有4个，此时为偶数，
当不是正整数时，则也不是正整数，由圆的对称性，上与点的距离为正整数的点有4个，此时为偶数，
当点在外，不符合题意；
点必定在上，即线段与有交点，
当点在上时，则；
当线段与相切时，设切点为，则且，
，
，即，
解得：，（舍去）；
由图象得，的取值范围为．
【小问3详解】
解：由（2）得，，，，
当线段与有交点时，既存在点使得是奇数，也存在点使得是偶数，不符合题意；
线段与没有交点，
①若线段在内，由（2）可知，对于线段上任意一点，都有，
又，
线段上存在点，使得，不符合题意；
②若线段在外，由（2）可知，对于线段上任意一点，都有，则，
过点作线段的垂线，垂足为，
则，
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
此时，，
，符合题意；
当时，由图象可知，符合题意；
当时，，，，则，
，不符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
此时，，
，不符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
此时，，
，不符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
，符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
此时，，
，符合题意；
当时，由图象可知，符合题意；
当时，，，，此时，
，，
，不符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
当时，，，，则，
，不符合题意；
当时，由图象可知，符合题意；
当时，由图象可知，不符合题意；
综上所述，的取值范围为或或或．
…
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万元
吨
万元
万元
吨
万元