北京市海淀区中国人民大学附属中学分校九年级上学期11月期中数学试题（原卷版）-A4

这是一份北京市海淀区中国人民大学附属中学分校九年级上学期11月期中数学试题（原卷版）-A4，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2024年11月6日
说明：本试卷共三道大题28道小题，共7页，满分100分，考试时间120分钟．
请将答案全部作答在答题纸相应的位置上．
第一部分 选择题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点是（ ）
A. B. C. D.
5. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
6. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ）
A B. C. D.
7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是
A. B. C. D.
8. 如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论：
①存在无数个是等边三角形；
②存在无数个是等腰直角三角形．
关于这两个结论的说法，正确的是（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①正确，②正确D. ①错误，②错误
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
10. 关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________．
11. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________．
12. 如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____．
13. 为圆上的两个定点，是上的动点（不与重合），若圆半径为，，则的度数为_____．
14. 1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是_____．（写出一个即可）
15. 如图，是的弦，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，若长为，则的最大值是_____．
16. 小聪在研究一个数字游戏，具体规则如下：
①第一轮的初始数字为85，经过若干轮，变换至91即为游戏胜利；
②每轮只能在以下两种变换中选择一种进行变换；
变换：将本轮初始数字乘以2；变换：将本轮初始数字减去3；
③每轮变换后得到的结果作为下一轮的初始数字．
（1）小聪想利用除以3的余数分析：，．上式表明型的数经过一次变换后变为型的数，型的数经过一次变换后变为型的数．据此推断，想要游戏胜利至少需要进行_____次变换；
（2）在变换进行次数最少的前提下，想要游戏胜利至少要进行_____次变换．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：；
18. 已知实数是的根，求的值．
19. 如图，在边长均为个单位长度小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为，
（1）线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、；
（2）线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）．
20. 已知：关于的一元二次方程
（1）求证；该方程总有两个实数根；
（2）请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解．
21. 已知：圆和圆外一点，求作：过点的圆的切线．
作法：①连接，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连结，；
②作的角平分线，交于点；
③以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点；
④作直线，．
所以直线，为的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，平分，
（ ① ）（填推理的依据）．
为的直径，，在上，
（ ② ）（填推理的依据）．
半径，半径．
直线，为的切线（ ③ ）（填推理的依据）．
22. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？
23. 某公司对其产品年宣传费用为万元，这种产品的年销售量为吨，年利润为万元．它们之间满足如下关系：，．下表是近年公司的统计数据：
（1）请你补全表格中的数据；
（2）请在下面平面直角坐标系中描出点；
（3）解决问题：当年宣传费用为__________万元时，年利润最大，此时利润为__________万元．
24. 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为；
拱桥最高处到水面的距离为9米．
（1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式；
（2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
25. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求的取值范围．
27. 如图，是等边三角形．是延长线上一点，连接并延长至点，使得．连接并延长，与延长线交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，的数量关系并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和图形给出如下定义：如果图形上与点距离为正整数的点恰有个，则称为图形关于点的特征值，记为．如图，已知的半径为．直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）当时，_____；
（2）若在线段上存在点，使得是奇数，直接写出的取值范围；
（3）若对于线段上任意一点，都有，直接写出的取值范围．
…
…
…
万元
吨
万元