北京师范大学附属实验中学顺义学校上学期九年级数学期中考试（解析版）-A4

这是一份北京师范大学附属实验中学顺义学校上学期九年级数学期中考试（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了请将全部答案答在答题纸上；，答题时不得使用任何涂改工具等内容，欢迎下载使用。
1．本次考试时间120分钟，满分100分；
2．本试卷共6页，计三道大题，28道小题，答题纸共4页；
3．请将全部答案答在答题纸上；
4．答题时不得使用任何涂改工具。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 三叶玫瑰线B. 笛卡尔心形线
C. 蝴蝶曲线D. 四叶玫瑰线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 方程的解是（ ）
A B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法．根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
∴，，
故选：C．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点为进行解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B
4. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的拋物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”得到答案即可．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，
故，
得．
故选D．
6. 如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】是的直径，点是弧的中点，从而可知，然后利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：设半径，连接，
是的直径，点是弧的中点，
由垂径定理可知：，且点是的中点，
，
，
由勾股定理可知：，
由勾股定理可知：，
解得：
，
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型
7. 已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠APB等于（ ）
A. 65°B. 50°C. 45°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．
【详解】连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，
∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．
8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤．
A. ②③④⑤B. ①②③④C. ③④⑤D. ①②④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴，故②正确；
∵对称轴，
∴，故③正确；
若有两个实数根，则抛物线与直线相交，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标为，开口向下，
∴当时，取最大值，
∴，
即，故⑤正确；
综上，说法正确的是②③④⑤，
故选：．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 如图，，，则___________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角关系定理，得出，再根据“有一个内角为的等腰三角形是等边三角形”即可得出答案．
【详解】解：，
，
是等腰三角形，
又，
为等边三角形，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了弧、弦、圆心角关系定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理与性质是解此题的关键．
11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是直接代值．根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可．
详解】解：将代入，
得，解得，
故答案为：．
12. 时钟的时针从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题主要考查了钟面角，解决本题的关键是得到时针旋转的旋转角的计算方法．
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针转动的大格数，用大格数乘即可．
【详解】解：∵时钟的时针从上午6时到上午9时，共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是，
∴时针旋转的旋转角．
故答案为：．
13. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【详解】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第________块．
【答案】①
【解析】
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．
故答案为：①．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键．
15. 如图，正六边形螺帽的边长，则正六边形螺帽的宽度________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的计算问题，勾股定理，含根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
此多边形为正六边形，
∴每个内角为；
∴
∴
∴，
∴
故答案为：
16. 如图，是正方形的外接圆，，点是上任意一点，于．当点从点出发按顺时针方向运动到点时，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先证明点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，求出的最小值即可；
【详解】如图，
∵，
∴，
∴点的运动轨迹是为直径的，连接交于点，
在中，，
∴，
∴当点从点出发按顺时针方向运动到点时，的最小值为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解答即可．
【详解】解：，
因式分解得，
则或，
解得，．
18. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】3.
【解析】
【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【详解】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程.
19. 在平面直角坐标系中，设函数（、是实数）．
（1）当时，若该函数的图象经过点，求函数表达式．
（2）若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解；
【小问1详解】
解：当时，则，
把点代入得，，
∴，
∴，即；
小问2详解】
解：∵，
∴抛物线与轴的交点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴对称轴为直线，
∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
∴，
∴；
20. 已知二次函数的图象经过点，点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围．
【答案】（1）该二次函数的解析式为：；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解析式；
（2）根据图象列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：将点，点代入中，
可得：，
解得：
该二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：根据题意作图，如图所示，
，
函数的开口向下，且对称轴也是y轴，
要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，
只需保证当时，，
且当时，，
即
解得：．
21. 图中所示的物线形批桥，当找顶离水面m时，水面宽m，水面上升米，水面宽度减少多少?
【答案】4米
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，再设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【详解】解：建立如图所示坐标系.
则可得过点
设解析式为
代入得.
所以解析式为.
把代入，得，
则水面的宽减少米
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于画出坐标系.
22. 如图，已知劣弧，如何等分？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线、；
②作的平分线，与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依据）．
方法二：①连接；
②作线段的垂直平分线，直线与交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴___（___）（填推理的依据）．
【答案】方法一：画图见解析，，，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析，，，垂径定理．
【解析】
【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；
方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；
【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作．
证明：∵平分，
∴
∴（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）．
方法二：如图，点C即为所求作．
证明：∵垂直平分弦，
∴直线经过圆心O，
∴（垂径定理）．
【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质．
23. 如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）半径是6．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径．
（1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断；
（2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解．
【小问1详解】
解：证明：过点作于点，
切于点A，
，
又平分，
，
为的半径，
是的半径，且，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点D作于点F，
，分别切于点A，B，
，
四边形是矩形，
，
又，
，
，，分别切于点A，B，E，
，
，
在中，
，
，
，
即的半径是6．
24. 某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资．2019年的研发投资为500万元，2021年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率．
【答案】这两年投资的年平均增长率为
【解析】
【分析】设这两年投资的年平均增长率是，根据2019年投资500万元，得出2020年投资万元，2021年投资万元，2021年投资720万元，据此列方程求解．
【详解】解：设平均每年投资增长的百分率是．
由题意得：，
解得（不合题意，舍去），
答：这两年投资的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．
25. 已知：C，D都是上的点，且位于直径的两侧，，．
（1）如图1，当于点E时，求的长．
（2）如图2，当D是弧的中点时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到，然后再根据即可求得长；
（2）作于点F，再根据圆周角定理的相关内容结合直角三角形将分成两部分构成新的等腰三角形和直角三角形进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵于点E，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图，作于点F，
∵D是的中点，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理，熟练掌握这些圆中的定理是解题关键．
26. 阅读理解：
某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中______；
（2）在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据函数图象，回答下列问题：
①当时，则y的取值范围为______．
②直线经过点，若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①；②
【解析】
【分析】（1）把代入函数解析式即可得的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）①根据（2）画出的函数图象得到函数的图象关于y轴对称；当时，根据函数图象可得到；
②根据函数的图象即可得到b的取值范围是．
【小问1详解】
将代入函数得：
．
故答案为：
【小问2详解】
根据表格：
描点法作出函数的图象如下图所示：
【小问3详解】
①根据函数图象可知：
当时，y的取值范围是；
故答案为：；
②由函数图象知：∵关于x的方程有个互不相等的实数根，
∴b的取值范围是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
27. 已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，求证：；
（2）将绕点顺时针旋转，如图2，当点恰好在边上时，求证．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）由，可得到，再根据等腰三角形的性质可知，，从而推出，即可得到；
（2）连接，同（1），根据等腰直角三角形的性质，可证，得，，从而得到，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立．
【小问1详解】
证明：
即
和都是等腰直角三角形
，
【小问2详解】
证明：连接，
即
和都是等腰直角三角形
，，
，
是等腰直角三角形
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段和轴上的点．
给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别为，的对应点），则称线段为以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，已知点，，，，在线段，，中，以点为中心的“关联线段”是________；
（2）已知点，线段是以点为中心的“关联线段”，点的横坐标的取值范围是________．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的性质、圆的性质等知识，熟练掌握以上知识和数形结合是解题的关键．
（1）由题知“关联线段”是关于P点成中心对称的，根据中心对称的性质即可得和是以点P为中心的“关联线段”．
（2）由与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，点在上，可得点的坐标为，P点坐标为，由此可得，根据与F点关于对称，可得F点的横坐标的取值范围．
【小问1详解】
解：如图所示：
∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，
∴线段是以点为中心的“关联线段”；
∵线段与线段关于点成中心对称，且是的弦，
∴若线段是以点P为中心的“关联线段”，
则与关于P点成中心对称，
则，
而的坐标只能是，
∴不可能在上，
∴线段不是以点P为中心的“关联线段”，
综上，以点P为中心的“关联线段”是和，
故答案为：和．
【小问2详解】
∵与点关于P点成中心对称，且P点在x轴上，
∴点的纵坐标为．
又∵点在上，
∴点的坐标为，P点坐标为．
∵是的弦，
．
∵与F点关于对称，
．
…
…
…
…
…
…
…
…