苏州新区实验初中2025-2026学年第一学期初三数学期中试题（解析版）

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本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，考试时间120分钟，注意事项：
1．答题前，考生务必将学校、班缓、姓名，考试号等信息填写在答题卡相应的位置上；
2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在各趟区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0．5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题；
3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分、在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意；
B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意；
C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意；
D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数n是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：C．
3. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具，某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程．
【详解】解：设每月增长率为x，则二月份销量为，
三月份销量为，
∵三月份销量为，
∴，
故选：B．
4. 如果一组数据3，，7，8，11的平均数为7，那么为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了算术平均数，根据算术平均数计算公式，先列出算式，再求出的值即可．掌握算术平均数的计算公式是本题的关键．
【详解】解：∵一组数据3，，7，8，11的平均数为7，
∴，
解得；
故选：B．
5. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：A．
7. 已知抛物线上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，对称轴为y轴，比较各点横坐标的绝对值，绝对值越大，函数值越大，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵抛物线方程为
∴开口向上，对称轴为，
∵抛物线上有三点，，，且
∴距离对称轴越远，函数值越大，
∴ ．
故选：D．
8. 如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围；
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由，
∴顶点坐标为，
∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为，
∴新线顶点为，
∵与轴相交于点和点，与轴交于点，
∴当时，，
解得：，，
∴，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
解得：，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当顶点在上时，，
解得：，
当顶点在上时，，
解得：，
∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为；
故选C.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 一组数据3、0、、5、8的极差是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】该题考查了极差的定义，根据极差的定义，用最大值减去最小值即可．
【详解】解：这组数据的最大值是8，最小值是，极差为．
故答案为：12．
10. 已知关于的一元二次方程中一次项的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，其中分别为二次项系数，一次项系数和常数项进行判断即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程中一次项的系数是，
故答案为：．
11. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位，
所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是，
故答案为：
12. 如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是________．
【答案】m＞1
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得．
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有两个不相等的实数根，则是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
14. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
先求出抛物线对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围．
【详解】解：，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；时，，当时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
15. 某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为．后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差__________．
【答案】8.0
【解析】
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，
∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；
故答案为：8.0．
【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．
16. y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．
【答案】5
【解析】
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，
∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，
∴a=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 按要求解方程：（配方法）
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．
先移项，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再由直接开平方法求解．
【详解】解：
或
∴，．
18. 解一元二次方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴，
∴或，
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
19. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．

（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________；
（2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是，
故答案为：．
【小问2详解】
画出树状图如图，

共有16种等可能结果，符合题意的有6种，
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键．
20. 如图，用长6米的铝合金条制成“日“字形窗框，中间有一横杆．
（1）若设长为米，则_____米；
（2）请问当是多少时，窗户的透光面积为1.5米？
【答案】（1）
（2）当时，窗户的透光面积为1.5米
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．
（1）设长为米，则，即．
（2）根据长乘以宽等于面积列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：设长为米，
则米，
故答案为：
【小问2详解】
解：窗户的透光面积为，
整理得：，
解得，
故当时，窗户的透光面积为1.5米
21. 甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶次，成绩统计如下：
（1）请分别求出甲、乙命中环数的平均数；
（2）若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
【答案】（1）甲命中环数的平均数为环，乙命中环数的平均数为环
（2）乙同学的射击成绩比较稳定
【解析】
【分析】本题考查平均数、方差，解题的关键是掌握相关的定义．
（1）根据加权平均数的定义求解即可；
（2）利用方差公式计算出甲、乙的方差，最后比较大小即可．
【小问1详解】
解：甲命中环数的平均数为（环），
乙命中环数的平均数为（环）；
【小问2详解】
甲的方差为，
乙的方差为，
，
乙同学的射击成绩比较稳定．
22. 二次函数的图象与直线交于点.
（1）求、的值；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）直接写出二次函数中，当时，的取值范围.
【答案】（1），
（2）顶点坐标，对称轴为直线
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数，求二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，把代入，求出的值，再把代入求出，即可作答．
（2）理解，则顶点坐标，对称轴为直线；
（3）由（2）得，令，则，解得，根据的开口方向向上，得出当时，的取值范围为或，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，把代入，得，
则，
把代入，
得
解得；
【小问2详解】
解：由（1）得，则，
∴顶点坐标，对称轴为直线；
【小问3详解】
解：由（2）得，
其开口方向向上，
令，则，
∴，
解得，
∵的开口方向向上，
∴当时，的取值范围为或．
23. 在“书海拾贝”读书活动中，为了解学生每周课外读书时间的情况，某学校在八年级学生中调查了一部分学生每周课外读书的时间，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的八年级学生人数为_____，图①中的值为_____；
（2）写出本次调查的八年级学生每周课外阅读时间数据的众数和中位数：
（3）该校八年级共有900名学生，请估计八年级学生每周课外阅读时间大于的人数．
【答案】（1），
（2）众数为，中位数为
（3）人
【解析】
【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图信息求解即可得到答案；
（2）由条形统计图信息，根据众数和中位数的求法求解即可得到答案；
（3）由样本中八年级学生每周课外阅读时间大于的人数占比估计总体情况即可得到答案．
【小问1详解】
解：由条形统计图可得，本次参与调查的八年级学生人数为人；
其中人数占比，即；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为，
将这组数据按从小到大顺序排列，其中处于中间的两个数都是，有，
∴这组数据的中位数为；
【小问3详解】
解：∵，
∴估计八年级学生每周课外阅读时间大于的人数约为人．
【点睛】本题考查统计综合，涉及求样本容量、计算扇形统计图中某项百分比、平均数、众数、中位数及由样本估计总体等知识．熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键．
24. 如图1，10米跳台运动员起跳后路线可以看成是抛物线的一部分（如图2中曲线部分所示），跳水运动员在10米跳台点跳水时，起跳后达到最高点，其重心离起跳台面的高度为1米．跳水的起跳板的长度为6米，起跳台距水面为10米．若运动员在点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米．
（1）求抛物线的解析式（不必写自变量的取值范围）；
（2）该运动员落水点离跳台中心的水平距离为多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解题目中各点的坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线对应的函数解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）把代入计算即可求解．
【小问1详解】
解：跳板的长度为，运动员起跳后，运动员在点起跳后过最高点再次距离水面10米时，水平方向移动了2米，起跳后达到最高点，其重心离起跳台面的高度为1米，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.
（1）求的值及点、的坐标；
（2）连接、、，求四边形的面积.
【答案】（1），，
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，与面积综合问题．
（1）由待定系数法求出函数解析式，再令，解一元二次方程求出抛物线与轴交点坐标；
（2）先求出顶点坐标，再由即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得，
∴解析式为，
当，则
解得或，
∴，；
【小问2详解】
解：如图，
由可得
∴
26. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式；
（2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式；
（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即与之间的函数关系式是，且是整数）；
【小问2详解】
由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
【小问3详解】
由（2）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
27. 如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，若点在抛物线上且，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象.若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）且
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图1中，作于．由，推出，由，，推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出；
（3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，同理求出当直线经过，时， 一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴分别交于点，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图1中，作于．
，
∴
，
，，
，
；
当点D在x轴上方时，设交轴于，
∴，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
．
当点在轴下方时（即在点的位置时），同理可求得直线的解析式为，
联立，解得或．
；
综上所述，点D的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图2中，
当直线经过，时，则有，
解得，
一次函数的解析式为，
中，当时，，
当直线经过，时，则有，
解得，
一次函数的解析式为，
观察图象可知当且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点．
【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
命中环数
甲命中相应环数的次数
乙命中相应环数的次数
电影票售价x（元/张）
40
50
售出电影票数量y（张）
164
124