苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（一）及解析

这是一份苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（一）及解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．某小组6名成员的英语口试成绩（满分50分）依次为：45，43，43，47，50，46，这一组数据的中位数是（ ）
A．43B．45C．45.5D．46
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．54B．53C．45D．35
3．如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
4．若抛物线y＝x2﹣2x+m+2与x轴只有一个公共点，则m的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．10D．16
5．一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
6．已知⊙O的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
7．已知点（﹣1，y1），（﹣312，y2），（12，y3）在函数y＝3（x+1）2+9的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
8．题目：“如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为边AB上一动点，若△APD与△BPC是相似三角形，求AP的长度．”甲答：当△APD∽△BPC时，AP的长度为247；乙答：当△APD∽△BCP时，AP的长为2．则（ ）
A．甲考虑的情况中，AP的长度应为3
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．若yx=27，则x−yx= ．
10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3X1﹣2，3X2﹣2，3X3﹣2，3X4﹣2，3X5﹣2的方差是 ．
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．

第11题 第14题
12．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 cm．
13．已知两条线段的长度a、b满足a3=b2，且a+3b＝18．若另一线段长度x是a、b的比例中项，则x＝ ．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC一点，OB⊥AC于D．若AC=3003米，BD＝150米，则的⊙O的半径长为 米．
15．定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如，4⊗3＝（4+2×3）×（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的对称轴为直线 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝30°，点D在BC的延长线上，点E在边AD上，且∠AEB＝60°，AC，BE交于点F，AF＝2，CD＝8，则BF的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：sin230°﹣2cs30°•tan60°•sin245°．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；（2）（x+1）（x﹣2）＝x+1．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，3），B（1，2），C（3，1）．
（1）求△ABC的面积；
（2）以点O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2；
（3）请直接写出A1点的坐标．
20．（6分）某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取n份参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）n＝ ，α＝ °，补全条形统计图；
（2）直接写出此次被抽取的参赛作品成绩的众数和中位数，并求出此次被抽取的参赛作品成绩的平均数；
（3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次绘画大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
21．（7分）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人口密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传播若干人，通过计算回答下列问题．
（1）现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，求每人一天传染了几人？
（2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？
22．（8分）小刚和小明两名同学玩一种游戏，游戏规则：两人各执象、虎、鼠三张牌，同时随机各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出的牌相同，则为平局．例如，小刚出“象”牌，小明出“虎”牌，则小刚胜；又如，两人同时出“象”牌，则两人平局．
（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？
（2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1，B1，C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用画树状图法或列表法加以说明．
23．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
24．（8分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当k=92时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=112米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
25．（8分）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m．
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，2≈1.41)
26．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
27．（10分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．请写出GE与DE之间的数量关系，并说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．某小组6名成员的英语口试成绩（满分50分）依次为：45，43，43，47，50，46，这一组数据的中位数是（ ）
A．43B．45C．45.5D．46
【分析】将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．据此解答即可．
【解答】解：将这组数据从小到大顺序排列为43，43，45，46，47，50，
∴中位数为12(45+46)=45.5，
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的定义，理解“将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinB的值是（ ）
A．54B．53C．45D．35
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC=AB2−BC2=52−42=3，
∴sinB=ACAB=35．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
3．如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC度数为（ ）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【分析】根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝100°，
∴∠ABC=12∠AOC=12×100°=50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了求圆周角的度数，掌握圆周角定理是解题的关键．即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
4．若抛物线y＝x2﹣2x+m+2与x轴只有一个公共点，则m的值是（ ）
A．﹣1B．﹣5C．10D．16
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（m+2）＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m+2与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m+2）＝0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
5．一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【分析】先求出一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的判别式，即可确定根的情况，得到答案．
【解答】解：x2﹣4x＝﹣4，即x2﹣4x+4＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0
∴方程有两个相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握Δ＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ＜0，一元二次方程无实数根是解决问题的关键．
6．已知⊙O的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【分析】根据圆心到直线的距离和圆半径的之间关系可得出直线与圆之间的位置关系．
【解答】解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离是4，
∴4＞3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选：C．
【点评】本题考查了圆和直线位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆和直线位置关系的性质．
7．已知点（﹣1，y1），（﹣312，y2），（12，y3）在函数y＝3（x+1）2+9的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】首先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别将x＝﹣1，x＝﹣312，x=12代入二次函数y＝3（x+1）2+9求得y1、y2、y3的值；再根据y1、y2、y3值的大小写出其大小关系即可．
【解答】解：x＝﹣1时，y1＝3×（﹣1+1）2+9＝9，
x＝﹣312时，y2＝3×（﹣312+1）2+9＝27.75，
x=12时，y3＝3×（12+1）2+9＝15.75，
∵27.75＞15.75＞9，
所以y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出相应的函数值是解题的关键．
8．题目：“如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为边AB上一动点，若△APD与△BPC是相似三角形，求AP的长度．”甲答：当△APD∽△BPC时，AP的长度为247；乙答：当△APD∽△BCP时，AP的长为2．则（ ）
A．甲考虑的情况中，AP的长度应为3
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
若△APD∽△BPC，则APBP=ADBC，
即x8−x=34，
解得x=247；
若△APD∽△BCP，则APBC=ADBP，
即x4=38−x，
解得x＝2或x＝6；
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．若yx=27，则x−yx= 57 ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：yx=27，可设y＝2k，x＝7k，k是非零数，
则x−yx=7k−2k7k=57．
故答案为：57．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
10．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3X1﹣2，3X2﹣2，3X3﹣2，3X4﹣2，3X5﹣2的方差是 3 ．
【分析】根据方差计算方法解答即可．
【解答】解：∵据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴x1+x2+x3+x4+x55=2，
由条件可知15[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+[（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]=13①；
∴3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2，的平均数是：
(3x1−2)+(3x2−2)+(3x3−2)+(3x4−2)+(3x5−2)5=3×x1+x2+x3+x4+x55−2＝4．
∴15[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+（3x3﹣2﹣4）2+（3x4﹣2﹣4）2+（3x5﹣2﹣4）2]
=15[9（x1﹣2）2+9（x2﹣2）2+9（x3﹣2）2+9（x4﹣2）2+9（x5﹣2）2]
=15×9[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+[（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]②，
把①代入②得方差是：13×9＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是关键．
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 13 ．
【分析】用白色区域的圆心角的度数除以圆周角的度数可得到指针落在白色区域的概率．
【解答】解：指针落在白色区域的概率是120360=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
12．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 33 cm．
【分析】已知半径为6cm的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【解答】解：半圆形弧长为：l=180π×6180=6π（cm），
设圆锥底面半径为rcm，
则：2πr＝6π，
所以，r＝3，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为hcm，
所以h2+r2＝62，
即：h2＝36﹣9＝27，
解得h＝33，
∴这个圆锥的高为33cm．
故答案为：33．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．已知两条线段的长度a、b满足a3=b2，且a+3b＝18．若另一线段长度x是a、b的比例中项，则x＝ 26 ．
【分析】根据比例的性质得a=32b，再根据a+3b＝18求出a和b的值，最后根据比例中项的定义即可求得答案．
【解答】解：∵a3=b2，
∴a=32b，
∵a+3b＝18，
∴32b+3b＝18，
∴b＝4，
∴a＝6，
∴x2＝ab＝24，
∴x＝26（负值舍去）．
故答案为：26．
【点评】本题考查了比例线段，关键是熟练掌握比例线段的性质．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC一点，OB⊥AC于D．若AC=3003米，BD＝150米，则的⊙O的半径长为 300 米．
【分析】设圆的半径是r米，由垂径定理推出AD=12AC＝1503（米），由勾股定理得到r2＝（r﹣150）2+(1503)2，求出r＝300，即可得到⊙O的半径长为300米．
【解答】解：设圆的半径是r米，则OD＝（r﹣150）米，
∵OB⊥AC，
∴AD=12AC=12×3003=1503（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣150）2+(1503)2，
∴r＝300，
∴⊙O的半径长为300米．
故答案为：300．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于圆半径的方程．
15．定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如，4⊗3＝（4+2×3）×（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的对称轴为直线x＝﹣2 ．
【分析】根据a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），将函数y＝（x+1）⊗2变形，然后即可求得该函数的对称轴．
【解答】解：∵a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），
∴y＝（x+1）⊗2
＝[（x+1）+2×2][（x+1）﹣2]
＝（x+1+4）（x+1﹣2）
＝（x+5）（x﹣1）
＝x2+4x﹣5
＝（x+2）2﹣9，
∴函数y＝（x+1）⊗2的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，将函数解析式化为顶点式．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝30°，点D在BC的延长线上，点E在边AD上，且∠AEB＝60°，AC，BE交于点F，AF＝2，CD＝8，则BF的长为 7 ．
【分析】如图，在CD边上取点M，连接AM使∠CAM为60°，作FG⊥CD于点G，证明△ACM为等边三角形，进而证明△AMD∽△BCF，根据勾股定理求得FG的长度，进而求得BF的长度，进而求解；
【解答】解：如图，在CD边上取点M，连接AM，使∠CAM为60°，作FG⊥CD于点G，
由题意得：∠ACM＝∠CBA+∠CAB＝30°+30°＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴∠CBF+∠CFB＝60°，
∴∠CBF+∠D＝60°，
∴∠CFB＝∠D，
∵∠AMD＝∠BCF＝120°，
∴△AMD∽△BCF，
∴AMBC=DMFC，
设BC＝AC＝AM＝CM＝x，
∴DM＝DC﹣CM＝8﹣x，FC＝AC﹣AF＝x﹣2，
则xx=8−xx−2，
解得x＝5，
∴FC＝AC﹣AF＝5﹣2＝3，
∵∠CFG＝30°，CG=32，
∴FG=32−(32)2=332，
∴BG=BC+CG=5+32=132，
∴BF=BG2+FG2=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：sin230°﹣2cs30°•tan60°•sin245°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案．
【解答】解：sin230°﹣2cs30°•tan60°•sin245°
＝（12）2﹣2×32×3×（22）2
=14−32
=−54．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）（x+1）（x﹣2）＝x+1．
【分析】（1）先利用十字相乘法分解方程的左边，再求解即可；
（2）把（x+1）看成一个整体先移项，利用提公因式法分解方程的左边，再求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x+1）（x﹣4）＝0．
∴x+1＝0或x﹣4＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝4．
（2）（x+1）（x﹣2）＝x+1，
移项，得（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）＝0即（x+1）（x﹣3）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握用因式分解法求解一元二次方程是解决本题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，3），B（1，2），C（3，1）．
（1）求△ABC的面积；
（2）以点O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2；
（3）请直接写出A1点的坐标．
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据位似的性质作图即可．
（3）由图可得答案．
【解答】解：（1）△ABC的面积为12×(1+2)×3−12×2×1−12×1×2=52．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）由图可得，A1点的坐标为（﹣8，﹣6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
20．（6分）某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取n份参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）n＝ 100 ，α＝ 108 °，补全条形统计图；
（2）直接写出此次被抽取的参赛作品成绩的众数和中位数，并求出此次被抽取的参赛作品成绩的平均数；
（3）若该校共收到800份参赛作品，请估计此次绘画大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
【分析】（1）根据9分的占比与人数求得总人数，进而得出8分的人数，进而补全统计图；
（2）根据众数，中位数和平均数的定义进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用800乘以9分以上人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）利用9分的占比与人数求得总人数为：
25÷90°360°=100（人）；
得8分的人数为100﹣30﹣25﹣5＝40（人），
∴α=360°−90°−360°×5100−360°×40100=108°，
补全统计图如图所示：
故答案为：100，108；
（2）由条形统计图得，得8分的份数最多，故众数是8（分）；
按大小顺序排列，最中间的两个是第50和51个，即8分和8分，
故中位数是：8+82=8（分），
平均数是：1100×(7×30+8×40+9×25+10×5)=8.05（分）；
（3）800×5+25100=240（份），
答：估计此次绘画大赛成绩不低于9分的作品份数为240份．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（7分）有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人口密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传播若干人，通过计算回答下列问题．
（1）现有一人患了这种疾病，开始两天共有225人患上此病，求每人一天传染了几人？
（2）两天后，人们有所觉察，这样平均一个人以少传播5人的速度在递减，求再过两天共有多少人患有此病？
【分析】（1）第一天患病的人数为1+1×传播的人数；第一天患病人数将成为第二天的传染源，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225；
（2）再过两天的患病人数＝225+225×（原来的传播人数﹣5）+前3天一共患病的人数×（第3天的传播人数﹣5）．
【解答】解：（1）设每天一人传染了x人，依题意有：
1+x+（1+x）×x＝225，
（1+x）2＝225，
∵1+x＞0，
∴1+x＝15，
x＝14．
答：每天一人传染了14人；
（2）225+225×（14﹣5）+[225+225×（14﹣5）]×（14﹣5﹣5）
＝225+2025+2250×4
＝11250（人）．
答：再过两天共有11250人患有此病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用；得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；易错点是理解第一天患病的总人数是第二天的传染源．
22．（8分）小刚和小明两名同学玩一种游戏，游戏规则：两人各执象、虎、鼠三张牌，同时随机各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出的牌相同，则为平局．例如，小刚出“象”牌，小明出“虎”牌，则小刚胜；又如，两人同时出“象”牌，则两人平局．
（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？
（2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1，B1，C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用画树状图法或列表法加以说明．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图法展示所有9种等可能的结果，从中找出小刚胜小明的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）一次出牌小刚出“象”牌的概率=13；
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小刚胜小明的结果数为3，
所以小刚胜小明的概率=39=13．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8．
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．
【分析】（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，先根据垂径定理得到DE＝CE＝4，再利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出BC＝45，再根据垂径定理得到BF＝CF＝25，然后利用勾股定理可计算出OF的长．
【解答】解：（1）连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE=12CD=12×8＝4，
在Rt△ODE中，∵OE＝r﹣2，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）在Rt△BCE中，∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC=42+82=45，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF=12BC＝25，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF=OB2−BF2=52−(25)2=5，
即OF的长为5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
24．（8分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当k=92时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=112米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标（3，k），结合k=92，可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+92，将点A（2，3）代入可得；
（2）依据题意，由（1）求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x=112米，y≥0，当x＝6米时y≤0，解不等式即可得．
【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3），
又∵k=92，
∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+92，
则3＝a（2﹣3）2+92，
解得：a=−32，
故抛物线解析式为：y=−32（x﹣3）2+92；
（2）根据题意，抛物线解析式为：y=−32（x﹣3）2+92，
令y＝0，则0=−32（x﹣3）2+92，
解得：x1＝3+3，x2＝3−3（舍去）．
∴运动员落水点与点C的距离为（3+3）米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x=112时，y=254a+k≥0，即254（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤257，
当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥278，
故278≤k≤257．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
25．（8分）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC＝2m，折臂底座高CD＝1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE＝135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m．
（1）求下折臂DE的长；
（2）求路灯AB的高．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin43°＝0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，2≈1.41)
【分析】（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，由题意可得四边形HGCD是矩形，则HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，推出EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，因为∠CDE＝135°，则∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．在Rt△EHD中，ED=32≈3×1.41=4.23≈4.2m；
（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．根据EK∥HD，推出∠KED＝∠EDH＝45°．因为∠AED＝88°，则∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，根据GC＝HD＝3，BC＝2，得出BG＝5，由题意可得四边形EGBK是矩形，所以EK＝5，KB＝4.5，在Rt△AEK中，tan43°=AKEK≈0.93，则AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65．得出AB＝KB+AK．
【解答】解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H，
∴HG＝DC＝1.5，∠HDC＝90°，
∴EH＝EG﹣HG＝4.5﹣1.5＝3，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDH＝∠EDC﹣∠HDC＝45°．
∴在Rt△EHD中，ED=32≈3×1.41=4.23≈4.2m，
答：下折臂DE的长约为4.2m．
（2）过点E作EK⊥AB，垂足为K．
∵EK∥HD，
∴∠KED＝∠EDH＝45°．
∵∠AED＝88°，
∴∠AEK＝∠AED﹣∠KED＝43°，
∵GC＝HD＝3，BC＝2，
∴BG＝5，
由题意可得四边形EGBK是矩形，
∴EK＝5，KB＝4.5，
在Rt△AEK中，tan43°=AKEK≈0.93，
∴AK＝EK•0.93°≈5×0.93＝4.65．
∴AB＝KB+AK＝4.5+4.65＝9.15≈9.2（m）．
答：路灯AB的高约为9.2m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确推理计算．
26．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用数形结合找出当y＝x+n经过点A或者y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝x+n经过点A（1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出n值；②当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出n值．综上即可得出结论；
（3）求得直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点，以及当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3+2m相切时m的值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得a+b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=1b=−4c=3，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）m＝0时，由图象得直线y＝x+n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝x+n过点A时，与图象W有三个交点，此时n＝﹣1；
②当直线y＝x+n与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，
x+n＝﹣x2+4x﹣3，
x2﹣3x+n+3＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（n+3）＝0，
∴n=−34，
综上，n的值是﹣1或−34；
（3）将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，得到y＝﹣x2+4x﹣3+2m，
令x＝﹣x2+4x﹣3+2m，则x2﹣3x+3﹣2m＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（3﹣2m）＝0，
∴m=38，
由y=xy=x2−4x+3，解得x＝y=5±132，
∴若直线y＝x与图象W有四个交点，m的取值范围是38＜m＜5−132．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）找出直线y＝x与新图象y＝﹣x2+4x﹣3+2m恰好有三个不同的交点以及直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点是关键．
27．（10分）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．请写出GE与DE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG＝BG＝2，AD＝4，进而求出AH＝3，进而求出FH＝2，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出EF=2BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．
【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴FHGH=ADAG=2，
∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF=AH2+FH2=13；
（3）GE＝（2−1）DE．理由如下：
∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF=2BE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG=2BE﹣BF=2DE﹣DE＝（2−1）DE．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．