苏州市立达中学2025-2026学年第一学期初三数学期中考试试卷（解析版）

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一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 把抛物线向上平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（ ）
A. B. 0C. D. 3
4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于的二次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①②
8. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面．则此时水面的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 二次函数图象的顶点坐标是___________．
10. 比较大小：___________．（填“”，“”或“”）
11. 若点，是二次函数图象上的两点，则______（填）．
12. 二次函数的最小值为___________．
13. 在中，，则锐角的度数为___________．
14. 如图，考古队在点A处测得古塔BC顶端C仰角为，斜坡长10米，坡度，长12米，则古塔的高度为______米．

15. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按图分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有、、角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为______．
16. 如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为________．
三、解答题（共10小题）
17. 计算：．
18. 已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点．
（1）求函数解析式；
（2）求函数图像与轴交点坐标．
19. 已知在直角中，，，，求大小和边的长度．
20. 如图，在中，，，，求边的长．
21. 如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．
22. 某水利工程公司开挖池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）如图所示，
（1）求抛物线的解析式：
（2）若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少了多少？
23. 2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）．
（1）求的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
24. 如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点、点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，求的面积；
（3）线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D的下方），且，当的值最小时，求点C的坐标．
25. 新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数．
（1）写出的“关联”二次函数的表达式：___________．
（2）若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数的图像有且只有两个交点，求的值；
（3）如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”两个二次函数与的图像的顶点，点是的图像与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．
26. 如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点．
（1）求点和点的坐标；
（2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求当取最大值时点的坐标．