苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（二）及解析

这是一份苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（二）及解析，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一元二次方程的根为（ ）
A．0B．9C．0或D．0或9
2．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
第2题第3题
3．如图，与△DEF是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则△DEF的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示．据此判断下列说法错误的是（ ）
A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码
B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码
C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码
D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数
5．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（ ）
A．顶点是B．过点
C．在x轴上截得的线段的长度是2D．
7．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，，则（ ）
A．B．C．D．
第7题 第8题
8．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．4.5B．4.8C．4.9D．5.2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ．
10．抛物线的顶点坐标为 ．
11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ．
第11题 第12题
12．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号）
13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留)
第13题第14题
14．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
15．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ．
第15题第16题
16．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ．
17．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ．
18．已知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ．（写出符合要求的一个答案即可）
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（本题8分）
(1)计算：；
(2)解方程：．
20．（本题8分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题：
(1)七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________；
(2)求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数；
(3)用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价．
21．（本题8分）为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）．
(1)小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____；
(2)请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率．
22．（本题6分）如图，在坐标系中，、、．
(1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______；
(2)这个圆的半径长为______；
(3)直接判断点与⊙M的位置关系，点在⊙M ______．（填内、外、上）
23．（本题8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
24．（本题8分）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点．
(1)若，求证：是⊙的切线；
(2)若是的中点，且，，求的长．
25．（本题8分）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求出的面积与之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
26．（本题8分）已知二次函数
(1)若，，当时，求y的取值范围；
(2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
27．（本题10分）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，）
(1)求．（结果保留根号）
(2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数）
28．（本题10分）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C．
(1)如图①，求点A，B，C的坐标；
(2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标；
(3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点．
答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一元二次方程的根为（ ）
A．0B．9C．0或D．0或9
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，.
故选：C.
2．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：，
，
，
∵，
．
故选：C．
3．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，的面积为1，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【详解】解：与是位似图形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C ．
4．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示．
据此判断下列说法错误的是（ ）
A．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为39.1码；
B．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的众数为40码；
C．八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的中位数为39码；
D．在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是平均数．
【答案】D
【详解】解：A项：八年级（1）班的20名男生穿鞋尺码的平均数为码，故说法正确；
B项：观察图表可知：有7人的鞋号为40码，人数最多，即众数是40码，故说法正确；
C项：中位数是第10、11人的平均数，即39，∴中位数为39码，故说法正确；
D项：在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数而不是平均数，故说法错误；
故选：D．
5．为促进消费，国家财政部门对家电类商品消费提供了财政补贴，某电器超级体验店的销售额逐步增加：7月的销售额为144万元，8月、9月的月增长率相同，9月的销售额为225万元．设8月、9月的月增长率为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：设月增长率为x，
∵ 8月销售额为，
9月销售额为，
又∵ 9月销售额为万元，
∴ ，
故选：C．
6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点…求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是（ ）
A．顶点是B．过点
C．在x轴上截得的线段的长度是2D．
【答案】A
【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴B正确，不符合题意；
∴在x轴上截得的线段长是，
∴C正确，不符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为直线，
∴顶点横坐标应为2，
A选项给出的顶点是 ，其横坐标为，
∴A不正确，符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得，
∴，
∴，
∴D正确，不符合题意；
故选：A．
7．由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，取格点E，连接，．
设菱形的边长为a，
∵由6个形状相同、大小相等的菱形组成的网格，，
∴，，，
，
∴是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
同理可得：所在的小三角形为等边三角形且与全等，
∴，，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵是菱形的对角线，
∴(菱形的对角线平分每一组对角)，
∴，
∴、都是直角三角形，
∴，
∴，
故选：A．
8．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．4.5B．4.8C．4.9D．5.2
【答案】C
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：C
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
10．抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【详解】二次函数 展开为一般形式：
，
其中 ，，，
顶点横坐标公式为 ，
代入得 ，
将 代入函数求纵坐标：
，
通分后 ．
故顶点坐标为 ．
11．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为 ．
【答案】
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
、，
与关于直线对称，
即垂直平分；
，
中点坐标是，
则连接与，刚好是正方形的对角线，
即这条正方形对角线垂直平分；
如图所示：
则圆心是，
则圆的半径为.
故答案为：．
12．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号）
【答案】
【详解】解：点D是线段的黄金分割点，
，
整理得，
解得（负值舍去），
，
，
故答案为：．
13．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留)
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵是弦的中点，在上，，
∴延长可得在上，，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
【答案】
【详解】解：过作交的延长线于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ．
【答案】2
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：2．
16．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ．
【答案】
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的顶点为，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，
故错误；
抛物线经过点，
，
故正确；
抛物线的顶点为，
抛物线的对称轴是，
当时，随的增大而减小，
故正确；
抛物线的顶点为，
当时，函数有最大值，
当时，函数值为，
，
，
故正确；
综上所述，结论正确的是．
故答案为：②③④．
17．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ．
【答案】6
【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，
∴
∴，且，，
∴
∴
∵小长方形的宽为
∴能分割四层小长方形
设最底层的上一层的靠近点A的边为x
根据三角形相似可得：
解得，正好能分割两个小长方形
再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个
故答案为6
18．已知正六边形的一条对称轴与抛物线的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ．（写出符合要求的一个答案即可）
【答案】或或2
【详解】解：如下图所示：
假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，B，C，D四点，
连接，，
∴，
∵，
∴，，都为等边三角形，
由于抛物线的对称轴为直线，
∴，，
设对称轴交BC于点M，
∴，
∴，
∴，，
又∵A，B都在抛物线上，
∴------①，
------②，
①-②，，
，
∴，
∴，
∴可得（舍去），或，
故该正六边形的边长可以为．
另两种情况类似上述解法，
如下图所示：
假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，B，C三点，
连接，，
同上理可得，，
又∵A，B都在抛物线上，
∴------①，
------②，
①-②，
整理可得：，
∴可得（舍去），或．
如下图所示：
假设正六边形的边长为，正六边形的中心在轴上，抛物线过A，F，D三点，
连接，，
同上理可得，，
又∵B，F都在抛物线上，
∴------①，
------②，
②-①，
整理可得：，
∴可得（舍去），或．
故答案为：或或2．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（本题8分）
(1)计算：；(2)解方程：．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：．
20．（本题8分）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查，分别从两个年级随机抽取了50名学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并制作了下列统计图．请根据统计图解答下列问题：
(1)七、八年级抽取的学生每人投稿篇数的中位数分别为___________，___________；
(2)求两个年级抽取的学生每人投稿篇数的平均数；
(3)用中位数、平均数两个统计量，对七、八年级学生投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】(1)3，3
(2)七年级：3；八年级：3.28
(3)七、八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好
【详解】（1）解：∵，，故七年级中位数是3；
∵将数据排序后第25，26个数据分别为3，故八年级中位数是3；
故答案为：3，3；
（2）七年级：；
八年级：．
∴七年级平均数为：3；八年级平均数为：3.28
（3）七八年级中位数相等，而八年级平均数大，所以八年级投稿情况好．
21．（本题8分）为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）．
(1)小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____；
(2)请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：共四种等可能情况，B．校园绿植养护占一种，
小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小云和小南选择的活动不同的结果有12种，
（小云和小南选择的活动不同）．
22．（本题10分）如图，在坐标系中，、、．
(1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______；
(2)这个圆的半径长为______；
(3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上）
【答案】(1)(2)(3)外
【详解】（1）解：、，
的垂直平分线所在直线为，
圆心M在直线为，
设，
，
，
解得，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
圆的半径长为，
故答案为：；
（3）解：，，
，
，
点在外，
故答案为：外．
23．（本题8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴∽．
（2）解：∵，，，
∴．
∵∽，
∴，即，
∴．
24．（本题10分）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点．
(1)若，求证：是⊙的切线；
(2)若是的中点，且，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于，
，
直线是的垂直平分线，
直线．
，
．
是⊙的半径，
是⊙的切线；
（2）解：连接，交于点，连接，，
是的中点，
，
．
在中，，，
，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
即，解得，即半径为10．
，
，
，
，
，
．
25．（本题10分）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求出的面积与之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，有最大值，且最大值为6
【详解】（1）解：由题意得：，则，
，
．
，即．
．
自变量的取值范围为．
（2）．
（3），
当时，有最大值，且最大值为6．
26．（本题10分）已知二次函数
(1)若，，当时，求y的取值范围；
(2)当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，时，
，
抛物线的开口向下，顶点坐标为
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
中含有顶点，
当时，y有最大值7，
当时，y有最小值为6，
当时，
（2）解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
，
抛物线开口向下，时，y的最大值为2，
，
又时，y的最大值为3，
，
，
，
二次函数的表达式为
27．（本题12分）小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，）
(1)求．（结果保留根号）
(2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，
，，，
，解得，
，解得，
；
（2）解：设，则无人机与小明的距离，
由题意可知，
，解得，
，
在中，，
即，
整理得：，
即，
解得或（舍去），
，
无人机距离地面的高度为．
28．（本题12分）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C．
(1)如图①，求点A，B，C的坐标；
(2)点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标；
(3)如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点．
【答案】(1)，，
(2)或2
(3)见解析
【详解】（1）解：由得，
当时，，
解得，，
∴，，
当时，，
∴；
（2）解： 设的表达式为，
则，解得，
∴的表达式为，
过D点作轴，交于F点，
设，
则，
∴，
∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
解得（舍去），，
当时，
解得，
①当时，D点在第三象限，如图：
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
解得；
②当时，D点在第四象限，如图：
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
解得，
综上，点E的横坐标为或2；
（3）证明：设，
设直线的表达式为
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
同理可求直线的表达式为，
直线的表达式为，
直线的表达式为，
∵直线，
∴直线经过定点，
将点代入直线：，
则，
∴，
∵直线过点，
∴，
，
∴
同理：，
∴，
将，代入，则，
化简得：，
把代入直线，
整理得：，
∴当时，，此时，
∴直线经过定点． 小南小云
A
B
C
D
A
B
C
D