【单元测试】湘教版数学九年级上册--第三章《图形的相似》单元测试卷（标准难度）（含答案）

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湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果x：y=1：2，那么下列各式中不成立的是(    )
A. x+yy=32 B. y−xy=12 C. yx=21 D. x+1y+1=23
2. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的(    )

A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
3. 已知四条线段a，b，c，d满足ab=cd，则下列等式一定成立的是(    )
A. ad=cd B. a+cb+d=ab C. a2b=c2b D. 2a+c2d+b=ab
4. 如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE//BC，AE=2CE，AB=6，则AD的长为(    )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5. 如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F.若ABBC=32，则BEEF的值为(    )
A. 95 B. 94 C. 83 D. 85
6. 如图，AB//CD//EF，AF交BE于点G，若AC=CG，AG=FG，则下列结论错误的是(    )
A. DGBG=12
B. DGBE=13
C. CGCF=13
D. CDEF=12
7. 下列选项中的两个图形一定相似的是(    )
A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正方形
8. 如图，已知AB//CD，AD、BC相交于点E，AF分别交BC、CD于点F、G.∠FAE=∠ABE，则图中相似三角形的对数(    )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9. 如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是(    )
A. AFDF=DEBC
B. DFDB=AFDF
C. EFCD=DEBC
D. AFBD=ADAB
10. 如图，A，B表示足球门边框(不考虑球门的高度)的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB=4，BD=1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为(    )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 15
11. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为(    )

A. 2米 B. 3米 C. 12米 D. 13米
12. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为(    )

A. (8,6) B. (9,6) C. 912,6 D. (10,6)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知ab=cd=ef=35，b+d+f=50，那么a+c+e=______．
14. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC为______．


15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图(1)所示．如图(2)所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是          cm．

16. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为3：1.若四边形OA′C′B′是边长为6的菱形，则点A的坐标为______．


三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a5=b4=c6≠0，
(1)求2a+b3c的值;
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
18. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论．

19. 如图，△ABC中，D是AC的中点，E在AB上，BD、CE交于O点．已知：OB：OD=1：2，求BEAE值．

20. 如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE // BC．

(1)若AB=6，AC=5，AD=4，求CE的长．
(2) 连接BE，作DF // BE交AC于点F，如图②，求证：AE2=AF⋅AC．


21. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1︰2，求AD的长．

22. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC//AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

23. 如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC=∠ADE=45°．

(1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD=30°，求∠BAE的度数；
(2)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α=______时，直线AC与DE垂直(0°<α≤360°)；
(3)如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD=4，AB=10，求BD的最大值和最小值．


24. 某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C(点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸)．
小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6m，测得CF=1m，DH=2m，CD=8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,2)，B(−3,4)，C(−2,6)．
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
(2)以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后得△A2B2C2，写出点B2的坐标．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想．
根据比例式的性质得出x，y的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出．
【解答】
解：∵x：y=1：2，
∴xy=12，
A.x+yy=xy+yy=12+1=32，故本选项正确；
B，y−xy=1−xy=1−12=12，故本选项正确；
C，yx=1xy=112=21，故本选项正确；
D，x+1y+1不一定等于23，例如，当x=2，y=4时，x+1y+1=2+14+1=35，
故此选项错误，
故选：D．  
2.【答案】D 
【解析】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为−1+52≈0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】A.由ab=cd得ad=bc，故此选项错误;
B.根据分式的合比性质，等式一定成立，故此选项正确;
C.该等式的变化不符合分式的性质，故此选项错误;
D.根据分式的合比性质，等式不一定成立，故此选项错误．
故选B．

4.【答案】B 
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AE=2CE，AB=6，
∴AD=23AB=4，
故选：B．
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出AD=23AB，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：如图，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，作ET//CB交AD于T．

∵BE平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM=EN，
∴S△ABES△BCE=12⋅AB⋅EM12⋅BC⋅EN=AEEC，
∴AEEC=32，
∴AEAC=35，
∵ET//CD，
∴ETCD=AEAC=35，
∵CD=BD，
∴ETBD=35，
∴EFBF=ETBD=35，
∴EFBE=38，
∴BEEF=83，
故选：C．
如图，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，作ET//CB交AD于T.首先证明AE：EC=AB：BC=3：2，推出ET：CD=ET+BD=AE：AC=3：5，即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求出线段的比值，属于中考常考题型．

6.【答案】B 
【解析】解：AB//CD，
∴DGBG=CGAG，
∵AC=CG，
∴DGBG=CGAG=12，
故A正确，不符合题意；
∵AB//CD//EF，
∴BGEG=AGFG，
∵AG=FG，
∴BG=EG，
∴BE=2BG，
∵DGBG=CGAG=12，
∴BG=2DG，
∵BE=4DG，
∴DGBE=14，
故B错误，符合题意；
∵CD//EF，
∴CGCF=DGDE，
∵BG=2DG，BE=4DG，
∴DE=3DG，
∴CGCF=DGDE=13，
故C正确，不符合题意；
∵CD//EF，
∴CDEF=DGEG，
∵DE=3DG，
∴EG=2DG，
∴CDEF=DGEG=12，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：A.任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、对应边的比相等，故一定相似，本选项符合题意；
故选：D．
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．

8.【答案】D 
【解析】解：

∵AB//CD，
∴△ABE∽△DCE，△ABF∽△GCF，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠D，
∵∠FAE=∠ABE，
∴△ABE∽△DAG，
∴△DAG∽△DCE，
∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
∴∠DAG=∠C，
∵∠AFE=∠GFC，
∴△AEF∽△CGF，
∵∠FAE=∠ABE，∠EFA=∠AFB，
∴△AEF∽△BAF，
∴图中相似三角形的对数为6，
故选：D．
根据平行线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．根据相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可求解．
【解答】
解：∵DE//BC，EF//CD，
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴DEBC=AEAC，EFDC=AEAC，
∴EFDC=DEBC，故C选项符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
∴AEAC≠AEEC
∴AFDF≠DEBC，故A选项不符合题意；
∵EF//CD，
∴AFDF=AEEC，
∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC，
∴ADDB=AFDF，
∴DFDB≠AFDF，故B选项不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB，
∵EF//CD，
∴AFAD=AEAC，
∴ADAB=AFAD，
∵AD不一定等于BD，
∴AFBD不一定等于ADAB，故D选项不符合题意
故选：C．  
10.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查的是相似三角形的应用的有关知识，根据题意当∠ACB最大时，ΔADC∽ΔCDB，然后利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】
解：∵AB=4，BD=1，
∴AD=4+1=5，
∵当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角，
∴ΔADC∽ΔCDB，
∴ADCD=CDDB，
∴5CD=CD1，
∴CD=5．
故选C．  
11.【答案】B 
【解析】解：由题意知：AB//CD，
则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6−0.4，
∴CD=3米，
故选：B．
由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．

12.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴BC EF = OB EO = 1 3，
∵BC=2，
∴EF=BE=6，
∵BC//EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴1 3 = BO BO+6，
解得：OB=3，
∴EO=9，
∴F点坐标为：(9,6)，
故选：B．  
13.【答案】30 
【解析】
【分析】
本题主要考查了比例的基本性质．解答此题的关键是根据比例的基本性质求得5a=3b，5c=3d，5e=3f三个等式．
根据比例的基本性质(两内项之积等于两外项之积)解答即可．
【解答】
解：由已知，得
5a=3b，①
5c=3d，②
5e=3f，③
由①+②+③，得
5(a+c+e)=3(b+d+f)，
又∵b+d+f=50，
∴5(a+c+e)=150，
∴a+c+e=30；
故答案为：30．  
14.【答案】1：6 
【解析】解：作DH//BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∵DH//BF，
∴AFFH=AEED=13，
∴AF：FC=1：6，
故答案为：1：6．
作DH//BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到AFFH=AEED=13，计算得到答案．
本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．

15.【答案】4 
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：1015=x6．
解得x=4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

16.【答案】(3,1) 
【解析】
【分析】
本题考查的是位似变换的性质、菱形的性质、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出点A′的坐标是解题的关键．
根据菱形的性质、等边三角形的性质求出点A′的坐标，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：∵四边形OA′C′B′是菱形，△A′B′C′是等边三角形，
∴△OA′B′是等边三角形，且OA′=6，
∴点A′的坐标为(33,3)，
∵△A′B′C′与△ABC位似，且相似比为3：1，
∴点A的坐标为(3,1)．
故答案为：(3,1)．  
17.【答案】解：(1)设a5=b4=c6=k(k≠0)，则a=5k，b=4k，c=6k，
∴2a+b3c=10k+4k18k=79．
(2)∵△ABC的周长为90，
∴a+b+c=90，即5k+4k+6k=90．
解得k=6，
∴a=30，b=24，c=36．
 
【解析】本题利用 参数法 ，设a5=b4=c6=k(k≠0)，易得a=5k，b=4k，c=6k，再根据问题求解即可．

18.【答案】证明：设正方形纸片ABCD的边长为2．
∵E为BC的中点，
∴BE=1，在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=5．
∵B′E=BE=1，
∴AB′=AE−B′E =5−1．
又AB″=AB′=5−1，
∴AB″AB=5−12，
∴点B″是线段AB的黄金分割点． 
【解析】见答案

19.【答案】解：取AE中点F，连接DF，如图，

∵D是AC中点，F为AE的中点，
∴DF为△AEC的中位线，
∴DF//CE，
∵OE//DF，
∴BEEF=BOOD=12，
∴BEAE=14． 
【解析】取AE中点F，连接DF，如图，根据三角形中位线性质得到DF//CE，再利用OE//DF得到BEEF=BOOD=12，从而得到BEAE的值．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．

20.【答案】(1)解：如图 ①，∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，即46=AE5，
∴AE=103，
∴CE=AC−AE=5−103=53;
(2)证明：如图 ②，
∵DF//BE，
∴AFAE=ADAB，
∵DE//BC，
∴ADAB=AEAC，
∴AFAE=AEAC，
∴AE2=AF⋅AC． 
【解析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(1)如图 ①，根据平行线分线段成比例定理得到46=AE5，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC−AE即可;
(2)由DF//BE得到AFAE=ADAB，由DE//BC得到ADAB=AEAC，利用等量代换得AFAE=AEAC，然后利用比例的性质可得到结论．

21.【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1︰2，
∴ABDE=AEDC=12，
∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4.∴4DE=AE4=12.∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10． 
【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到ABDE=AEDC=12，而根据矩形的性质得到CD=AB=4，从而利用比例性质得到DE=8，AE=2，然后计算AE+DE即可．

22.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴ADAB=DEBF，即48=aBF，
∴BF=2a，
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG//CE，
∵GC//AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG=CE=8−a，
∴BG=AB−AG=8−(8−a)=a，
在Rt△BGF中，GF2=a2+(2a)2=5a2，
在Rt△CEF中，EF2=(2a+4)2+(8−a)2=5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2=42+a2=16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，

∴GM//AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴GMAE=GFEF，
∴GM2AE2=GF2EF2，
∴GM216+a2=5a25a2+80，
∴GM=a，
∴GM=BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA=EC，
∴平行四边形AGCE是菱形． 
【解析】(1)根据矩形的性质可得∠ADE=∠ABF，∠∠DAE+∠BAE=90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE=90°，进而可得∠DAE=∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；
(2)先根据AG//CE，GC//AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM=GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA=EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．

23.【答案】45°或225° 
【解析】解：(1)∵∠BAD=30°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+90°=120°．
(2)①垂足在线段AC上时，

∵AC⊥DE，∠ADE=45°，
∴∠DAC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=45°，即旋转角度α=45°；
②垂足在线段AC延长线上时，

∵AC⊥DE，∠ADE=45°，
∴∠DAH=45°，
∵∠BAC=90°，
∴旋转角度α=90°+180°−45°=225°；
故答案为：45°或225°．
(3)当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大，此时BD=AB+AD=10+4=14．

当AD旋转到线段AB上时，BD最小，此时BD=AB−AD=10−4=6．

∴BD的最大值是14，最小值是6．
(1)根据∠DAE=90°，即可得∠BAE的度数；
(2)分两种情况画出图形，根据角的和差即可求解；
(3)当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大；当AD旋转到线段AB上时，BD最小，分别画出图形即可求解．
题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，角的计算等，本题中根据题意画出图形，利用数形结合的思想是解题的关键．

24.【答案】解：由题意可得：∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH．

∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，
∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°，
∴△ABC∽△EFC，
∴EFAB=CFBC，即1.5AB=1BC①，
∵∠ADB=∠GDH，∠ABC=∠GHD=90°，
∴△ABD∽△GHD，
∴GHAB=DHBD，即1.6AB=2BC+8.4②，
解由①和②组成的方程组得BC=9.6m．
答：河宽BC是9.6m． 
【解析】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．

25.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求作的三角形，C1(3,3)．

(2)如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，B2(2,8)． 
【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可．
(2)利用位似变换的性质分别作出A，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，正确作出图形．