重庆市江津中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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说明：开考前，请考生先将自己的姓名、准考证号和座位号填写在答题卡对应位置.作答时，
选择题部分必须用 2B 铅笔填涂，非选择题部分用 0.5mm 黑色墨迹签字笔书写.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则
A. B. C. D.
3. 已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A B. C. 或 D. 或
4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5. 在同一坐标系中，直线 与圆 的图形情况可能是（ ）
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A. B.
C. D.
6. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供 4 种颜色给“弦图”的 5 个
区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A. 48 种 B. 72 种 C. 96 种 D. 144 种
7. 数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选
对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得 0 分）
9. 已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 最小正周期为π D. 函数 的值域为
10. 如图，在三棱锥 中， ，则（ ）
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A. 二面角 的大小为
B. 三棱锥 的体积为
C. 在棱 上存在一点 ，使得
D. 三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知 分别是双曲线 左、右焦点，经过点 且倾斜角为钝角的直线 与 的两条
渐近线分别交于 两点，点 为 上第二象限内一点，则（ ）
A. 若双曲线 与 有相同 渐近线，且 的焦距为 8，则 的方程为
B. 若 ，则 的最小值是
C. 若 内切圆的半径为 1，则点 的坐标为
D. 若线段 的中垂线过点 ，则直线 的斜率为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 ，若 ，则 与 之间的距离为
__________.
13. 若曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 ______.
14. 有 6 张卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，6，背面均写有数字 7．先把这些卡片正面朝上排成一
排，且第 个位置上的卡片恰好写有数字 ．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为 n
，则将第 n 个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验 3 次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这
一条件下，计算骰子恰有一次点数为 3 的概率为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
16. 如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得
到一组数据 ，其中 ， 表示连续用药 i 天，相应的临床药效指标值．已知该组数
据中 y 与 之间具有线性相关关系，令 ，经计算得到下面一些统计量的值：
， ， ， ， ，
（1）求 关于 的经验回归方程；
（2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的 1.5 倍，设备甲生
产药品的不合格率为 0.008，设备乙生产药品的不合格率为 0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互
独立．
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率．
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参考公式：对于一组数据 ，其回归方程 中，斜率和截距的最小二乘法估计
公式分别为： ， ．
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 经过点 且倾斜角为
的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点（其中点 A 在 x 轴上方），且 的周长为 8．将平面
沿 x 轴向上折叠，使二面角 为直二面角，如图所示，折叠后 A，B 在新图形中对应点记为
， ．
（1）当 时，
①求证： ；
②求平面 和平面 所成角的余弦值；
（2）是否存在 ，使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，请
说明理由．
19. 设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；
（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值.
函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.
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