2022-2023学年重庆市江津五中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市江津五中高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数f(x)=3x+1x，则f′(1)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知定义在[0,3]上的函数f(x)的图像如图，则不等式f′(x)<0的解集为( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (0,1)∪(2,3)
3. 若f′(x0)=1，则a→0limf(x0)−f(x0+a)a=( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
4. 从2名男生和3名女生中任选2人参加党史知识演讲比赛，则至少有一名男生被选中的概率是( )
A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3
5. (1+x)10展开式中x2的系数为( )
A. 1B. 10C. 45D. 120
6. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有种( )
A. 36B. 48C. 64D. 84
7. 设(2x−1)5=a0+a1x+…+a5x5，则下列说法正确的是( )
A. a0=1B. a1+a2+a3+a4+a5=1
C. a0+a2+a4=−121D. a1+a3+a5=121
8. 已知(2x+1 x)n的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为( )
A. 212B. 312C. 310D. 210
9. 函数f(x)=x−2lnx的单调递增区间是( )
A. (−∞,0)和(0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,2)D. (0,2)
10. 有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )
A. 60种B. 120种C. 150种D. 30种
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)= ______ ．
12. 已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=20，D(X)=15，则p=______．
13. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=2x+1，则f(1)+f′(1)= ______ ．
14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x3+2xf′(1)−1，则f′(1)= ______ ．
15. 如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有______ 种.
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题15.0分)
有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
(3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法．
17. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=13x3−2x2+3x+1．
(1)求函数f(x)在点x=−1处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[−3,4]的最大值和最小值．
18. (本小题15.0分)
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%．
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−13及x=1处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根，求c的取值范围．
20. (本小题15.0分)
已知函数f(x)=x−alnx．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：f(x)=3x+1x，
则f′(x)=3−1x2，
故f′(1)=3−1=2．
故选：B．
先对f(x)求导，再将x=1代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：结合函数图象可知，当1故选：B．
先找出函数单调递减的范围，即可求求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵f′(x0)=1，
∴a→0limf(x0)−f(x0+a)a=−a→0limf(x0)−f(x0+a)−a=−f′(x0)=−1．
故选：D．
利用导数的定义求解即可．
本题考查了导数的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：基本事件总数n=C52=10，事件A=“至少一名男生被选中”包含的基本事件总数m=13C21C+C22=7，
∴P(A)=mn=710=0.7．
故选：A．
可求出基本事件总数n=10，事件A=“至少一名男生被选中”包含的基本事件总数m=7，然后根据古典概型的概率计算公式即可求出P(A)的值．
本题考查了组合数公式，古典概型的概率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：二项式(1+x)10展开式Tr+1=C10r⋅xr，
令r=2，故x2的系数为C102=45．
故选：C．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有2A33种次序，
当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，
此时有3A21A21A22种次序，
故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有2A33+3A21A21A22=12+24=36种，
故选：A．
根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：令x=0，解得a0=−1，A错误；
对于B：令x=1，得到a0+a1+...+a5=1，再结合a0=−1，得到a1+a2+a3+a4+a5=2，B错误；
对于C，D：令x=−1，得到a0−a1+a2+...−a5=−243，再结合到a0+a1+...+a5=1，可得a0+a2+a4=−121，a1+a3+a5=122，故C正确；D错误．
故选：C．
分别令x=0和x=1即可判断A，B选项；
令x=−1和x=1即可判断C，D选项．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：已知(2x+1 x)n的二项展开式中，通项公式为Tr+1=Cnr⋅2n−r⋅xn−3r2，
∵第3项与第9项的二项式系数相等，∴Cn2=Cn8，∴n=10．
令x=1，可得所有项的系数之和为310，
故选：C．
由题意，根据二项式系数的性质，求出n的值，再令x=1，可得所有项的系数之和．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：f′(x)=1−2x=x−2x，f(x)的定义域为(0,+∞)，
由f′(x)>0，得x>2，
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞)．
故选：B．
求出导函数f′(x)，由f′(x)>0确定增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：把5名同学按照2人，2人，1人与1人，1人，3人分配到3个小区进行安排，
所以不同的安排方法为C52⋅C32⋅C11A22⋅A33+C51⋅C41⋅C33A22⋅A33=150．
故选：C．
把5名同学按照2人，2人，1人与1人，1人，3人分配到3个小区进行安排就可解决此题．
本题考查排列组合应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
11.【答案】2.3
【解析】解：由题意可得0.2+a+0.5=1，解得a=0.3．
所以E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3．
故答案为：2.3．
利用分布列的性质求解a，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基础题．
12.【答案】14
【解析】解：随机变量X服从二项分布B(n,p)，
E(X)=20，D(X)=15，
∴np=20np(1−p)=15，
解得n=80，p=14．
故答案为：14．
由E(X)=20，D(X)=15，列出方程组，由此能求出结果．
本题考查概率的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】5
【解析】解：由函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=2x+1，得f′(1)=2，
将点M的坐标代入切线方程，可得f(1)=2×1+1=3，
因此，f(1)+f′(1)=5．
故答案为：5．
由已知可得f′(1)，再把点M的坐标代入切线方程求解f(1)，则答案可求．
本题考查导数的概念及其几何意义，是基础题．
14.【答案】−3
【解析】解：因为f(x)=x3+2xf′(1)−1，则f′(x)=3x2+2f′(1)，
令x=1，则f′(1)=3+2f′(1)，即f′(1)=−3．
故答案为：−3．
根据题意，求导得f′(x)，然后令x=1，即可得到结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】48
【解析】解：如图：
从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，
B有3种颜色花卉摆放方法，C有2种颜色花卉摆放方法；
由D区与B，A花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，
则D有2种颜色花卉摆放方法．
故共有4×3×2×2=48种涂色方法．
故答案为：48．
利用分步乘法原理求解即可．
本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．
16.【答案】解：(1)从6门中选3门共有C63=20种不同的选法；
(2)如果物理和化学恰有1门被选，则分选物理，不选化学，或者选化学不选物理，
则共有C21C42=12种不同的选法；
(3)如果物理和化学至少有1门被选，
则共有C21C42+C22C41=12+4=16种不同的选法．
【解析】(1)直接使用组合公式进行计算即可．
(2)利用分步计数原理进行计算即可．
(3)利用分类讨论思想进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
17.【答案】解：(1)易知，函数f(x)=13x3−2x2+3x+1的定义域为x∈R；
所以f(−1)=−13−2−3+1=−133，则切点为(−1,−133)，
又f′(x)=x2−4x+3=(x−3)(x−1)，
则f(x)在点x=−1处的切线斜率k=f′(−1)=8，
所以切线方程为y+133=8(x+1)，整理可得y=8x+113，
即函数f(x)在点x=−1处的切线方程为y=8x+113；
(2)由(1)可知，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，f(x)在(1,3)上单调递减，
x∈(−3,1)或(3,4)时，f′(x)>0，f(x)在(−3,1)或(3,4)上单调递增，
函数f(x)在[−3,4]上的单调性列表如下：
所以f(x)的极大值为f(1)=13−2+3+1=73，极小值为f(3)=9−2×9+9+1=1，
又f(−3)=−9−2×9−9+1=−35，f(4)=643−2×16+3×4+1=73，
综上可得，函数f(x)在[−3,4]上的最大值为73，最小值为−35．
【解析】(1)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=−1的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；
(2)利用导数判断出函数f(x)在[−3,4]上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)列联表如下：
K2=30×(12×5−4×9)216×14×21×9≈0.4082<2.072，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
(2)由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则P(X=0)=C53C93=542，
P(X=1)=C41C52C93=1021，
P(X=2)=C42C51C93=514，
P(X=3)=C43C93=121，
故X的分布列为：
数学期望E(X)=0×542+1×1021+2×514+3×121=43．
【解析】(1)由题可得列联表，根据列联表可得K2进而即得；
(2)由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f′(x)=3x2+2ax+b，
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−13及x=1处取得极值，
∴−13和1是方程3x2+2ax+b=0的两根，则−2a3=−13+1b3=−13×1，解得a=−1，b=−1；
(2)由(1)得f(x)=x3−x2−x+c，
f′(x)=3x2−2x−1，结合(1)可知，该函数的零点为−13，1，
由f′(x)<0，得−130，得x<−13或x>1，
∴f(x)的极小值为f(1)=c−1，极大值为f(−13)=527+c，
若方程f(x)=0有三个不同的实根，只需527+c>0c−1<0，
解得−527∴c的范围是(−527,1)．
【解析】(1)由题意可知−13，1是f′(x)=0的两个根，再根据韦达定理求出a，b；
(2)求出两个极值，利用极大值大于零，极小值小于零列出c的不等式组求解．
本题考查函数极值点处的性质，以及利用利用导数研究三次函数零点的方法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnx，(x>0)，f′(x)=1−1x=x−1x，
令f′(x)=0，得x=1，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)的极小值为f(1)=1，无极大值．
(2)f′(x)=1−ax≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，
即a≤x在x∈[1,+∞)上恒成立，
所以a≤1，即实数a的取值范围为(−∞,1]．
【解析】(1)求导得到f′(x)=x−1x，确定函数的单调区间，根据单调区间计算极值得到答案．
(2)f′(x)=1−ax≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，得到a≤x，解得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
X
1
2
3
P
0.2
a
0.5
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
[−3,1)
1
(1,3)
3
(3,4]
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30
X
0
1
2
3
P
542
1021
514
121