初中人教版（2024）15.3 等腰三角形精练

这是一份初中人教版（2024）15.3 等腰三角形精练，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则线段，，的数量关系是（ ）
A．B．
C．D．不能确定
2．如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
4．如图，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，为等边三角形，为等腰三角形，其中，，且，，在同一直线上．连接和．则以下结论中正确的个数为（ ）
①；②为的平分线；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
9．如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则的大小为
B．若，且，则的大小为
C．若，的周长为8，则的周长为13
D．若，的周长为8，则的周长为13
10．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（ ）
A．10B．9C．8D．7
11．如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为
14．已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有 个等腰三角形．
15．如图，是边长为的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，则阴影部分图形的周长为 ．
16．如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ．
17．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ．
三、解答题
18．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，，．求证：．
19．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
20．如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，的延长线交于点若，，求的面积．
21．如图，，，点D在边上，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，和均为等边三角形，连接、交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
23．如图，中，，，平分，，，求的长．
24．已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．
(1)若，求的度数：
(2)若，，求证：．
《15.3等腰三角形》参考答案
1．C
【分析】本题考查了等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，连接，，由，，则，又垂直平分，垂直平分，故有，，所以，，通过外角性质可得，证明是等边三角形，最后通过等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，，
∵，，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值．
【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值是C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝BC'＝84，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接、，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
∴
∵
∴当A、M、D三点共线时，值最小，
的长为的最小值，
周长的最小值．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定和性质．熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键．根据四边形内角和等于可判断结论①正确；过点作的延长线于点，作于点，根据证明，则可得，根据角平分线的判定可得结论②正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的判定可得结论③正确；由可得，可得结论④不正确．
【详解】解：∵为等边三角形，
，
∵，
，
∵四边形中，，
．
故结论①正确；
如图，过点作的延长线于点，作于点．
则，
，，
，
又，
，
，
∴为的平分线．
故结论②正确；
， 平分，
∴垂直平分，
∴．
故结论③正确；
，
而， ，
．
故结论④不正确；
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），
∴，
∴，
故选：A ．
8．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长．
【详解】解：作交的延长线于点，
是边长为3的等边三角形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，，
又，，
，
，
．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，从而得出，，，根据等边对等角的性质和三角形外角的性质可判断A、B选项；根据垂直平分线的性质可判断C、D选项．
【详解】解：由作法可知，垂直平分，
，，
，
，且，
，
，
，A、B选项错误；
的周长为8，
，
，
的周长，C选项正确；
，
，
的周长，D选项错误；
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的周长为，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：．
【详解】解：，，
，，
在和中，，
，
，
．
故选：C．
12．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．分类讨论这个的角是等腰三角形的顶角还是底角，再进一步求解即可．
【详解】解：若的角是顶角，则底角是，
若的角是底角，则底角是．
故选：C．
13．+或1
【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论．
【详解】解：①如图1，
当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MC=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CM是等腰直角三角形，
∴CM=M，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点，
∴BM=M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
14．3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴、为等腰三角形，
综上分析可知：等腰三角形共3个．
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．
【详解】解：∵等边的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故答案为：．
16．
【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可．
本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置．
【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，
，
，
，
∴，
，，
垂直平分，
，
，
当点E在点处时，最小，
，
，
，
，
，
，
即当的值最小时，的度数为
故答案为：
17．3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解．
【详解】解：点在边上，
当时，的值最小，
又是等边三角形，
，
故答案为：3．
18．见详解
【分析】由得，由得，再根据即可得．
本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵中，，
∴，
在和中，
，
∴．
19．(1)10
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线性质，掌握线段垂直平分线性质是解题关键．
（1）利用是的垂直平分线，是的垂直平分线，得到，，即可得出答案；
（2）利用三角形内角和得出，由， 得出，，继而得出，得出．
【详解】（1）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长；
（2）解：，
，
，，
，，
，
．
20．12.8
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的面积公式等知识，证明是解答该题的关键．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，即可求的度数．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明；
（2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
，
∴，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，
．
23．
【分析】过点D作交于点E，由角平分线的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等腰直角三角形，得到．
【详解】过点D作交于点E
∵，，
∴
∵，平分，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∵，，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．
24．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解；
（2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
即．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
C
C
A
A
C
B
题号
11
12








答案
C
C