2025-2026学年福建省泉州市晋江市磁灶片区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省泉州市晋江市磁灶片区八年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. 227B. − 2C. 49D. 3−64
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. (−3a2b)3=−9a6b3B. 3m6÷m2=3m4
C. (x+y)2=x2+y2D. 6x2⋅7x2=42x6
3.下列选项中，可以用来说明命题“若|a|>5，则a>5′′是假命题的反例是( )
A. a=−6B. a=6C. a=5D. a=−5
4.下列命题是真命题的是( )
A. 若a2=b2，则a=bB. 算术平方根等于它本身的数是0
C. 对顶角相等D. 在数轴上没有表示π这个数的点
5.若(x+p)(x−q)的结果不含x的一次项，则p、q应满足( )
A. p=0B. q=0C. p=qD. p+q=0
6.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−x+1=x(x−1)+1B. 12x2−6x=6x(2x−1)
C. 2(x−2y)=2x−4yD. x2−9−6x=(x+3)(x−3)−6x
7.如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是( )
A. (m+n)(m−n)=m2−n2
B. (m+n)2=m2+2mn+n2
C. (m−n)2=m2−2mn+n2
D. (m+n)2=(m−n)2+4mn
8.如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=75∘，∠C=20∘，则∠CAE的度数为( )
A. 25∘
B. 70∘
C. 95∘
D. 100∘
9.若x，y都是实数，且y= x−4+ 4−x+9，则xy的平方根是( )
A. 6B. −6C. ± 6D. ±6
10.我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于x的代数式M=x2−x，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有( )个
①当x=4时，M=12；
②存在实数x，使得M+14”、“=”或“q，D(p,q)>0.若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s.当D(p,q)=8时，求st的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算题：
(1) 25+327+|1− 2|；
(2)(ab2−3b3)⋅(4ab2)+(−2ab2)2.
18.(本小题8分)
把下列多项式因式分解：
(1)x−4x3；
(2)2a2b−20ab+50b.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：[(3x−y)2−(x+y)(x−y)−2y2]÷(−2x)，其中x=−3，y=−1.
20.(本小题8分)
如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，∠B=∠DEF.求证：AC//DF.
21.(本小题8分)
已知：3a−2的立方根是−2，4b+1的算术平方根是5，c是 31的整数部分.
(1)求a，b，c的值；
(2)求3a+2b−2c5的平方根.
22.(本小题10分)
长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a>b，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2.
(1)用含a、b的式子分别表示S1和S2；
(2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数.
23.(本小题10分)
对于任意四个有理数s、t、u、v，可以组成两个有理数对(s,t)与(u,v)，我们规定：(s,t)⊗(u,v)=s2+v2−tu，例如：(1,2)⊗(3,4)=12+42−2×3=11.
(1)若(2x,kx)⊗(y,−y)是一个完全平方式，求常数k的值；
(2)若x+2y=8，且(x+2y,4x2+y2)⊗(1,2x−y)=100，求xy的值.
24.(本小题13分)
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.
(1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若(a+b)2=5，a−b=1，求ab的值；
(2)两个正方形ABCD，AEFG如图②摆放，边长分别为x，y.若x2+y2=34，BE=2，请求出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式、图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知a+b=3，ab=1，利用以上恒等式求a3+b32的值.
25.(本小题13分)
综合实践
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：227， 49=23是分数，3−64=−4是整数，它们不是无理数，
− 2是无限不循环小数，它是无理数，
故选：B.
无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：(−3a2b)3=−27a6b3，故选项A错误，不符合题意；
3m6÷m2=3m4，故选项B正确，符合题意；
(x+y)2=x2+2xy+y2，故选项C错误，不符合题意；
6x2⋅7x2=42x4，故选项D错误，不符合题意；
故选：B.
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、a=−6时，|a|>5，而a5，则a>5′′是假命题，符合题意；
B、a=6时，|a|>5，a>5，
不能说明命题“若|a|>5，则a>5′′是假命题，不符合题意；
C、a=5时，|a|=5，
不能说明命题“若|a|>5，则a>5′′是假命题，不符合题意；
D、a=−5时，|a|=5，
不能说明命题“若|a|>5，则a>5′′是假命题，不符合题意；
故选：A.
根据绝对值的性质、实数的大小比较、假命题的定义判断即可．
本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】C
【解析】解：A、若a2=b2，则a=±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、算术平方根等于它本身的数是0和1，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等，是真命题，符合题意；
D、在数轴上有表示π这个数的点，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C.
根据平方根的定义、算术平方根的定义、对顶角相等、实数与数轴判断．
本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】C
【解析】解：(x+p)(x−q)
=x2−qx+px−pq
=x2+(p−q)x−pq，
∵(x+p)(x−q)的结果不含x的一次项，
∴p−q=0，
∴p=q，
故选：C.
先利用多项式乘多项式法则计算得出原式=x2+(p−q)x−pq，再根据(x+p)(x−q)的结果不含x的一次项知p−q=0，据此可得答案．
本题主要考查多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6.【答案】B
【解析】解：x2−x+1=x(x−1)+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，
12x2−6x=6x(2x−1)符合因式分解的定义，则B符合题意，
2(x−2y)=2x−4y是乘法运算，则C不符合题意，
x2−9−6x=(x+3)(x−3)−6x中等号右边不是积的形式，则D不符合题意，
故选：B.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：中间阴影部分正方形面积：(m−n)2=m2−2mn+n2.
故选：C.
图乙中求边长为(m−n)的正方形的面积得到数学公式．
本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=20∘，
∴∠CAE=∠O+∠D=75∘+20∘=95∘.
故选：C.
由全等三角形的性质推出∠D=∠C=20∘，由三角形的外角性质得到∠CAE=∠O+∠D=95∘.
本题考查全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
9.【答案】D
【解析】解：∵y= x−4+ 4−x+9，
∴x=4，y=9，
故xy=36的平方根为：±6.
故选：D.
直接利用二次根式的定义得出x，y的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：当x=4时，M=x2−x=16−4=12，①正确；
不存在实数x，使得M+14
【解析】解：∵4< 23s，
∴t−s，t+s+1是正整数，且t+s+1>t−s，
∵8=1×8=2×4，
∴t−s=1t+s+1=8或t−s=2t+s+1=4，
解得：t=4s=3或t=52s=12，
∵t，s是正整数，
∴符合条件的是t=4s=3，
∴st的最大值为34.
故答案为：34.
根据题意得：p=t(t+1)，q=s(s+1)，D(p,q)=t(t+1)−s(s+1)=8，即t2+t−s2−s=8，分解因式得到(t−s)(t+s+1)=8，根据8=1×8=2×4，得方程组，解出得到结论．
本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键．
17.【答案】(1)7+ 2 (2)8a2b4−12ab5
【解析】解：(1) 25+327+|1− 2|
=5+3+ 2−1
=7+ 2；
(2)(ab2−3b3)⋅(4ab2)+(−2ab2)2
=4a2b4−12ab5+4a2b4
=8a2b4−12ab5.
(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先把题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】(1)x(1+2x)(1−2x) (2)2b(a−5)2
【解析】解：(1)原式=x(1−4x2)
=x(1+2x)(1−2x)；
(2)原式=2b(a2−10a+25)
=2b(a−5)2.
(1)将原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(2)将原式提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法的关键．
19.【答案】−4x+3y，9.
【解析】解：原式=[9x2−6xy+y2−x2+y2−2y2]÷(−2x)
=(8x2−6xy)÷(−2x)
=−4x+3y，
当x=−3，y=−1时，
原式=−4×(−3)+3×(−1)=9.
根据去括号，合并同类项，多项式除以单项式，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．
20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF.
【解析】根据BE=CF推导出BC=EF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF即可得出．
本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等判定定理是解题关键．
21.【答案】(1)a=−2，b=6，c=5 (2)±2
【解析】解：(1)∵3a−2的立方根是−2，4b+1的算术平方根是5，
∴3a−2=−8，4b+1=25，
解得a=−2，b=6，
又∵5< 310，
∴x+y=8，即阴影部分的面积为8；
(3)由图③得，正方体体积表示为(a+b)3，也可以表示为a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴(a+b)3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
即(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(4)∵a+b=3，ab=1，
由(3)得a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2
=(a+b)3−3ab(a+b)
=27−3×1×3
=18，
∴a3+b32=9⋅
(1)根据图形的面积即可求解；
(2)根据四边形ABCD和AEFG都是正方形，设BC=AB=DC=x，AE=AG=EF=y，根据S阴影=S△DFC+S△EBF即可求解；
(3)根据题意可得，正方体体积表示为(a+b)3或a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，即可求解；
(4)根据a+b=3，ab=1，结合(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3即可求解．
本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握数形结合是解题的关键．
25.【答案】(1)①(x+1)(x+5);②(x−3)(x−5). (2)①(a−b)(a+b+2);②△ABC为等腰三角形，理由如下：由题意，∵ac−bc+a2−2ab+b2=0，
∴(a−b)c+(a−b)2=0，
∴(a−b)(c+a−b)=0，
∵a，b，c分别为△ABC三边的长，
∴c+a>b，则c+a−b>0.
∴a−b=0.
∴a=b.
∴△ABC为等腰三角形． (3)①(x−2)4;②由题意得，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2.
∵对于任意实数x都有(x2+5x+5)2≥0，
∴多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值一定是非负数
【解析】(1)解：①x2+6x+5
=(x+1)(x+5)；
②x2−8x+15
=(x−3)(x−5).
(2)解：①a2+2a−2b−b2=a2−b2+2a−2b
=(a+b)(a−b)+2(a−b)
=(a−b)(a+b+2)；
②解：△ABC为等腰三角形，理由如下：由题意，∵ac−bc+a2−2ab+b2=0，
∴(a−b)c+(a−b)2=0，
∴(a−b)(c+a−b)=0，
∵a，b，c分别为△ABC三边的长，
∴c+a>b，则c+a−b>0.
∴a−b=0.
∴a=b.
∴△ABC为等腰三角形．
(3)①解：(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9=(x2−4x)2+8(x2−4x)+16
=(x2−4x+4)2
=[(x−2)2]2
=(x−2)4.②证明：由题意得，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2.
∵对于任意实数x都有(x2+5x+5)2≥0，
∴多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值一定是非负数．
(1)①依据题意，根据十字相乘法计算可以得解；
②依据题意，根据十字相乘法计算可以得解；
(2)①依据题意，根据十字相乘法计算可以得解；②依据题意，由ac−bc+a2−2ab+b2=0，则(a−b)(c+a−b)=0，由c+a>b，则c+a−b>0，从而可得a=b，进而可以判断得解；
(3)①依据题意，由(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9=(x2−4x)2+8(x2−4x)+16=[(x−2)2]2=(x−2)4，进而可以得解；②依据题意得，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+5)2，从而可以判断得解．
本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解-十字相乘法、一元二次方程的一般形式，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．活动目的
探究因式分解的其他方法
材料1
在因式分解中有一类形如二次三项式x2+(p+q)x+pq的因式分解的方法叫作“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).例如：将二次三项式x2+2x−35因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项−35=−5×7，一次项系数2=−5+7，如图所示，则x2+2x−35=(x−5)(x+7)x−5x+7
材料2
“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下：
甲：a2−2ab−4+b2
=(a2−2ab+b2)−4(分成两组)
=(a−b)2−22(直接运用公式)
=(a−b+2)(a−b−2)
乙：a2−ab−a+b
=(a2−ab)−(a−b)(分成两组)
=a(a−b)−(a−b)(提公因式)
=(a−b)(a−1)
这种分解因式的方法叫作“分组分解法”.
材料3
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是“换元法”.
例如：因式分解：(x2+5x+2)(x2+5x−4)+9解：设x2+5x+2=y，则原式=y(y−6)+9=(y−3)2=(x2+5x+2−3)2=(x2+5x−1)2.
学习上述材料内容，合作交流完成下列任务
任务1
(1)因式分解：①x2+6x+5；②x2−8x+15.
任务2
(2)①因式分解：a2+2a−2b−b2；②若a，b，c分别为△ABC三边的长，且ac−bc+a2−2ab+b2=0，请判断△ABC的形状，并说明理由.
任务3
(3)①因式分解：(x2−4x+1)(x2−4x+7)+9；②求证：多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值一定是非负数.