九年级下册直棱柱、圆锥的侧面展开图精品同步训练题

这是一份九年级下册直棱柱、圆锥的侧面展开图精品同步训练题，文件包含湘教版数学九年级下册32《直棱柱圆锥的侧面展开图》5大题型提分练原卷版docx、湘教版数学九年级下册32《直棱柱圆锥的侧面展开图》5大题型提分练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
3.2
A.夯实基础
题型一 几何体展开图的认识
1．可以围成一个棱柱的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何体展开图的认识，结合四棱柱的展开图，即可作答．
【详解】解：依题意，观察四个选项，可以围成一个棱柱的是
，
故选：B．
2．下列平面图形中，是三棱柱平面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图的特征是解题关键．分别判断选项中的几何体，即可得到答案．
【详解】解：A、是三棱柱的展开图，符合题意；
B、是四棱锥的展开图，不符合题意；
C、是圆柱的展开图，不符合题意；
D、是圆锥的展开图，不符合题意；
故选：A．
3．将一个长方体纸质包装盒剪开铺平，它的展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是几何体的展开图，根据长方体的对面特点进行判断是解题的关键．根据长方体的展开图的特点对面相等回答即可．
【详解】解：A、能够折叠成一个长方体，故A正确，符合题意；
B、四个侧面中对面的大小不相等，不能构成长方体，故B错误，不符合同意；
C、四个侧面中对面的大小不相等，不能构成长方体，故C错误，不符合同意；
D、两个较小的面不能在同一侧，故D错误，不符合同意．
故选：A．
4．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上，一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何体的展开图，两点之间线段最短等知识点，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．由两点之间线段最短即可排除选项和选项，由蜗牛从点出发绕圆锥侧面爬行一圈后又回到点即可排除选项，进而可得解．
【详解】解：在圆锥的侧面展开图中，蜗牛绕圆锥侧面爬行一圈的最短路线应该是一条线段，故选项，选项错误，不符合题意，
蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行一圈后，又回到点，因而将选项、中的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，其侧面展开图中左右两个对应点应该重合，而选项还原后两个点不能够重合，故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意，
故选：．
题型二 正方体展开图的识别及含字、图的正方体展开图
5．下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面图形的折叠及正方体的展开图，较强的空间思维能力成为解题的关键．
根据平面图形的折叠及正方体的展开图的特点解答即可．．
【详解】解：选项D不能折成正方体；
选项A、B、C经过折叠均能围成正方体．
故选：D．
6．如图，A、B、C、D四个位置中的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的平面图形，其平面图形能拼成正方体的位置有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．正方形B、C、D与实线部分的五个正方形组成的图形能围成正方体．
故其平面图形能拼成正方体的位置有3个．
故选：C．
7．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含1，2和3的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断A、C、D错误．
【详解】解：由题意得，含1，2和3的三个面是两两相邻的三个面，
∴四个图形中只有B选项中的图形符合题意，
故选：B．
8．一个小立方块六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如下图所示，则C对面的字母是（ ）
A．AB．BC．DD．F
【答案】D
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，观察第二和第三个图形，可得与F相邻的字母有A、B、D、E，即可求解．
【详解】解：观察第二和第三个图形，可得与F相邻的字母有A、B、D、E，
因此F的对面是C．
故选D．
9．如图是正方体的一个表面展开图，原正方体上“尖”“青”两个字所在面的位置关系是（ ）
A．相对B．相邻C．重合D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“尖”与“青”是相对面，
故选：A．
10．如图，这是正方体的展开图，相对面的数字之和为6，则的值为（ ）
A．B．C．112D．80
【答案】A
【分析】本题考查了正方体展开图和整式化简求值，先确定字母的值，再化简求值即可．
【详解】解：因为正方体的展开图，相对面的数字之和为6，
所以，，
，
把，代入，原式，
故选：A．
11．数学兴趣课上，小华设计了一个相对两面图形相同的正方体，并沿着某些棱剪开，得到的展开图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．代表的是B．代表的是
C．代表的是D．代表的是
【答案】A
【分析】本题主要考查的是正方体的展开图，根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：根据题意可得代表的是太阳，代表的是月亮，代表的是星星，
故选：A．
12．如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正方体的展开图，解题的关键是根据展开图的特征，判断折叠后的正方体．结合图形特征，根据正方体的展开图进行判断即可.
【详解】解：通过具体折叠结合图形的特征，判断展开图折叠后圆圈为相对的两个面，有三角形的两个面与有圆圈的两个面相邻．
故选：D．
题型三 由展开图求几何体的表面积
13．棱长是的正方体的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键．
【详解】解：棱长是的正方体的表面积是，
故选C
14．若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．其他函数
【答案】B
【分析】根据“矩形的面积底面周长母线长”，列出函数表达式再判断它们的关系则可得到答案．
【详解】解：，
，
，
圆柱的高h与圆柱的底面半径r之间的函数关系是反比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和圆柱侧面积的求法，熟记圆柱侧面积公式是解题关键．
15．一个六棱柱，底面边长都是厘米，侧棱长为厘米，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据六棱柱侧面积的公式等于6个矩形面积之和，代入数据即可解出答案．
【详解】 底面边长都是，侧棱长为，
六棱柱侧面积为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的表（侧）面积，熟练掌握几何体侧面积的求法是解题的关键．
16．已知圆柱的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圆柱的侧面展开图是矩形，其侧面展开图的面积=圆柱底面周长×母线长从而可得答案．
【详解】解：圆柱的侧面展开图是矩形，它的长为圆柱底面周长8πcm，宽即母线长为6cm， 所以其侧面展开图的面积是8π•6=48π．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆柱的侧面展开图，熟知侧面展开图是矩形是解题关键．
17．如图是一个食品包装盒的展开图.
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）.
【答案】(1)六棱柱；
(2)；．
【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图．
根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱；
侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积.
【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱；
（2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形，
这个包装盒的侧面积是；
这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形，
如下图所示，
一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形，
六棱柱底面正六边形的边长为，
且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长，
每一个正等边三角形的面积为，
六棱柱的两个底面的面积之和为，
．
题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角
18．已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，弧长等知识．熟练圆锥侧面展开图的弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键．
设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是，
依题意得，，
解得，，
故选：B．
19．如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是．
故选：D．
20．若一个圆锥的主视图是等边三角形，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查圆锥及其侧面展开图的扇形的相关计算，设圆心角的度数为，主视图的等边三角形的边长是，则圆锥底面直径是，底面周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长的公式计算即可．解题的关键是掌握：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形的弧长．
【详解】解：设圆心角的度数为，主视图的等边三角形的边长是，则圆锥底面直径是，底面周长是，
∴，
解得：，
∴圆锥侧面展开图的圆心角的度数为．
故选：D．
21．如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
∵
∴
∴
解得：
故选：C．
22．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，
由题意得：，解得：，
则，解得，即扇形的圆心角为，
故答案为：B．
23．如图，野兽派建筑的代表作，南非中兰德，中央水塔，由修建于1996年．它的造型是一个倒立的圆锥，底面圆的半径是20米，母线长为60米．
(1)求这个圆锥的侧面积．
(2)求此圆锥侧面扇形的圆心角．
(3)现在在圆锥的底面上A处有一位攀岩高手，他要挑战从A出发沿着圆锥水塔的侧面绕一圈回到A点，则他爬动的最短距离是_________米．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图，侧面积、弧长的计算，勾股定理；
（1）利用圆锥侧面积公式直接计算即可求解．
（2）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；
（3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：这个圆锥的侧面积为（平方米）；
（2）解：设此圆锥侧面扇形的圆心角为，
底面周长为
解得：
（3）解：如图所示，在侧面展开图中，由两点之间线段最短得他爬动的最短距离为腰长为，顶角为的等腰三角形的底边AB的长，过点作
依题意，，
∴，
∴
∴米
故答案为：．
题型五 求展开图上两点折叠后的距离
24．如图，是一个棱长为的封闭正方体盒子，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，得出正确的展开图是解题的关键．
先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长．
【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长，
如图所示：
∵矩形的长为6、宽为3，
∴．
故选B．
25．如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可．
【详解】解：将长方体展开，连接，
∵，，
根据两点之间线段最短，．
故选：A．
26．如图，若圆柱的底面圆的周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将圆柱侧面展开可得到长为圆柱的底面周长，宽为的矩形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求．
【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，
矩形的长为，宽为圆柱的底面周长，
根据勾股定理得：（），
根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键．
27．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬最短的路程（取3）是（ ）．
A．7B．13C．11D．9
【答案】B
【分析】根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：侧面展开图如图所示：
可以把和展开到一个平面内，则线段的长表示蚂蚁从点爬到点处吃食的最短路程．
根据圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长，矩形的宽，
∴在直角三角形中，．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，解答此类问题的关键应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况利用两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．
28．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；
(2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
【答案】(1)
(2)这根绳子的最短长度为
【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解： 设的度数为，
底面圆的周长等于，
解得．
（2）解：连接，过作于，
∴，
∵由（1）得
∴
∵
则
由，
∴，
∴，
∴，
即这根绳子的最短长度是．
B.提高能力
29．如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】C
【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可．
【详解】解：如图所示，不同的选法有2处，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
30．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）
A．8cmB．10cmC．12cmD．15cm
【答案】D
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，
则．
故选：D．
【点睛】题目主要考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，同时也对勾股定理的应用进行考查．
31．（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有__________（填序号）．
（2）【操作探究】如图1，小明准备在边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为．
（I）这个纸盒的底面积是____________，高是____________（用含a，x的代数式表示）．
（II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积．
（3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图2方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．
已知四个面上分别标有代数式，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值．
【答案】（1）①②④；（2）（I），；（II）；（3）
【分析】本题考查了正方体展开图，列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据正方体的展开图的特征分析即可；
（2）（I）根据裁剪要求和图形求解即可；
（II）由（I）可得，这个无盖长方体纸盒的容积为，先求出的值，再计算容积即可；
（3）由展开图可知，两个面相对，两个面相对，进而得到，，再将原式化为计算即可．
【详解】解：（1）经过折叠能围成正方体纸盒的有①②④，
故答案为：①②④；
（2）（I）由题意可知，在边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个底面边长为的无盖长方体纸盒，
则这个纸盒的底面积是，高是，
故答案为：，；
（II）由（I）可得，这个无盖长方体纸盒的容积为，
当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，
则，
解得：，
那么当底面边长时，纸盒的容积为；
（3）由展开图可知，两个面相对，两个面相对，
四个面上分别标有代数式，，．且相对的两个面上的代数式相等，
，，
．
32．综合与实践
问题情境：
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．

问题解决：
(1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
(2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？
【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可；
（2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：如图1，．
如图2，．
因为，
故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是．
（2）解：将长方体按下列三种方案展开：
如图3，一直角边为，另外一条直角边为，
根据勾股定理得．
如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为，
根据勾股定理得．
如图5，，，
根据勾股定理得．
因为，
所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是．