2024～2025学年上学期期末模拟高一数学答案-A4

这是一份2024～2025学年上学期期末模拟高一数学答案-A4，共12页。
参考答案
选择题
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】A 由，即，解得，
所以，又，
所以.
某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【解析】B 依题意可得样本中高二学生的人数为（人）.
函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【解析】C 在上都是单调增函数，故在上是单调增函数；
又，，
，；
故的零点所在区间为.
已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）
B.
C. D.
【解析】B 因为，
故图象的对称中心为，
所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称，
故为奇函数.
经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【解析】A 当时，，
当时，，故；
当时，，故，
所以．
命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【解析】D依题意，：，真命题，
所以在上有解，
当时，原不等式，解得，满足题意；
当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意；
当时，若上有解，则，解得，
综上所述，，
所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是.
有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】A 记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，
记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，
则两次掷出点数之和为奇数为事件，
所以
.
已知函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D 对任意的，，即恒成立，
所以，函数的定义域为，
因为，
所以，，
所以，，故函数为奇函数，
当时，函数、均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数在上为增函数，
由奇函数性质可知，函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，可得，
又因为，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为8.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8
D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件
【解析】ACD 对于A，从50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是，故A正确；
对于B，对10个数据从小到大排序为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30.
又，则第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数，
即为，故B错误；
对于C，数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，，故C正确；
对于D，注意到，且事件互斥，
则，则、为互斥事件，故D正确.
设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最小值1B. 有最小值2
C. 有最大值D. 有最大值8
【解析】AC 因为正实数满足，所以
，当且仅当时等号成立，A正确；
，当且仅当时等号成立，B错误；
，，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D错误．
已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C.
D. 满足不等式的的取值范围是
【解析】ABD A选项，令得，∴，A正确；
B选项，任选，且，中，令，得，
因为当时，，又，所以，
故，
所以在定义域上单调递增，B正确；
C选项，中，令得，
故，
故，C错误；
D选项，因为，所以，中，令得，
∵，∴，
由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
函数的定义域为_________.
【解析】对于函数，令，解得且，
所以函数的定义域为.
已知函数在上是增函数，则的取值范围是__________.
【解析】当时，在上是增函数；
当时，由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增且大于0恒成立，
有解得.
综上，的取值范围是.
设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为________.
【解析】不妨设，由得，
即，
故在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，
的定义域为，且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，故，
即，解得，
当时，，
因，所以，故，解得；
当时，，符合题意；
故不等式的解集为.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
设全集，已知集合，集合，
（1）求和；
（2）若且，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，得，则，
解，得，则，
所以，，
则或．
（2）因为，所以，
而，，
当时，则，解得，满足题意；
当时，则，且，解得，则；
综上，实数的取值范围为．
某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位）
（2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数
（2）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：
（3）在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，
在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
，
共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种，
所以所求概率为.
已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点.
（1）求的表达式；
（2）若方程，恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.
【解析】（1）由指数函数的图象过点，得，
所以，又为上的奇函数，所以，得，
经检验，当时，符合，所以；
（2），因为在定义域内单调递增，
则在定义域内单调递减，
所以在定义域内单调递增减，
由于为上的奇函数，所以由，
可得，
则在恰有2个互异的实数根，
即在恰与x轴有两个交点，
则，
所以实数a的取值集合为.
已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值.
【解析】（1）由已知是偶函数，代入.
，；得，.
代入，.
满足.
可得.
（2）在区间内选择任意的，，
因为
，其中，，，，.
可得，，即.
综上，证得在单调递增.
（3）由(2)已证，，又有，若要满足当时，与的值域相同，则且
由在单调递增，在单调递减，且，,
根据的单调性，且；又由,则只需要满足且即可.
，，，
，.
最大值为
若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”.
（1）分别判断下列函数是否为“函数”；（直接给出结论）
①；②
（2）若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围；
（3）若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围.
【解析】（1）①是“函数”；②不是“函数”.
理由如下：①，又函数的定义域为，所以为“函数”.
②，故不是“函数”.
（2）先证：在上单调递增.
任取，且
①若，由于在上单调递增，则
②若，则，由于在上单调递增，则，结合“函数”定义，有即在上单调递增
③若，由①②，则有，
故在上单调递增
，
由于在上单调递增，因此，
即，解得，
综上，的取值范围是；
（3）①当时：，
，当且仅当时，等号成立
，当且仅当时，等号成立
故，当且仅当时，等号成立，
所以，在上的最大值为
进而，在上的值域为；
②当时，的取值范围是，
由“函数”的定义，的取值范围是，
即在上的值域为；
③当时，，即
因此，在上的值域为
若使其为，只需，而，解得，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
B
A
D
A
D
ACD
AC
ABD