2024～2025学年下学期期末模拟高二数学答案-A4

这是一份2024～2025学年下学期期末模拟高二数学答案-A4，共12页。
参考答案
选择题
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知函数满足，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【解析】B 求导可得，所以，.
等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A. 28B. 30C. 32D. 36
【解析】C 由已知为等差数列，
所以.
某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工，要求每个员工都有拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有（ ）
A. 180种B. 210种C. 240种D. 360种
【解析】C 若小明拿到2个面包，则有；
若小明拿到4个面包，则有种；
故小明最终拿到偶数个面包的情况有种.
已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. 1D. 24
【解析】D 因为，所以，
所以.
所以二项式的展开式中，常数项为：.
甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次．若甲每次射击命中目标的概率为，乙每次射击命中目标的概率为，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响．则在两人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】C 设甲、乙两人三次射击中至少命中目标两次为事件，甲恰好命中目标两次为事件，
则,
，
所以.
已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D ，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，故，解得.
在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【解析】B 因为，
所以，
所以数列的前项和.
现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态

中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】A 对于选项A，经过甲操作可以变为，，，，或.
对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；
对于，乙操作成；对于，乙操作成.
此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，所以A正确；
对于选项B，甲将操作为，此时乙可以操作为，，，甲必胜；
对于选项C，甲将操作为，甲必胜；
对于选项D，甲将操作为，由选项A知甲必胜.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A. 线性回归方程至少经过点中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
【解析】BCD 对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错；
对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确；
对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. 为等比数列B. 为等比数列
C. D.
【解析】BCD 由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，
所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；
由，则，
所以，
所以，D对.
已知函数，过点作平行于轴的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点则（ ）
A. 当时，切线的方程为
B. 当时，的面积为
C. 点的坐标为
D. 面积的最小值为
【解析】BD 令，可得，则，且，则，
所以曲线在点处的切线为，令，则，
综上，，，显然C错；
所以，令，则，
令且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，故，D对；
当，则，，，且，则，A错；
所以的面积为，B对.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
若，则______.
【解析】在中，
令，得.
某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为_______元．
【解析】当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有，则；
当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有，则；
当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有，则，
故所求期望．
已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是___________.
【解析】由题意得，对任意，存在，使成立，则成立，
由函数可得 ，
当 或时，有 ，故在上 单调递增；
当时，有，故在上单调递减，
当时，；当 时，，所以 ，
又函数的开口向上，且对称轴的方程为，
当即时，，
由，解得，不合题意，舍去；
当即时，，
由，解得，符合题意；
当即时，，
由，解得或，不合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是 ．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）已知函数，求；
（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值．
【解析】（1），；
（2），，又，
在处的切线方程为：；
设与相切于点，
，，
切线方程为：，即，
，解得：.
近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
（1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．
若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
（2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
【解析】（1），．
，
．
，
．
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人．
（2）的可能取值为．
；
；
；
所以的分布列为：
．
已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求的前项和．
【解析】（1）由题意知，所以由，得，
所以，又，
所以是首项为3，公差为5的等差数列，
所以，即．
（2）由（1）得，
所以①，
②，
①②，得
，
所以．
已知函数.
（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题意得函数的定义域为，，
则，解得：，
∴，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为.
（2）由得，
不等式可变形为，
即，因为，且，
所以函数在上单调递减，
令，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
因为当时，，所以函数在上单调递减，
所以，所以，
即实数m的取值范围为.
一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
（1）若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
（2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
【解析】（1）（i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，
，，
，，
所以分布列为：
的数学期望为
（ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，
且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞，
记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”，
则两两互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率为.
（2）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
又，所以，即的期望为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
C
D
C
D
B
A
BCD
BCD
BD
月份
1
2
3
4
5
睡眠质量显著改善人数
280
250
200
160
110
X
0
1
2
P
1
2
3
4