2025-2026学年江苏省常州实验中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省常州实验中学九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程x2−4x−3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. 1，4，3B. 0，−4，−3C. 1，−4，3D. 1，−4，−3
2.已知⊙O的半径为6cm，OP=7cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 无法确定
3.下列四组线段中，是成比例线段的一组是( )
A. 8，12，6，9B. 3，4，20，2C. 0.5，9，0.6，6D. 1，2，3，4
4.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x−1)2=6B. (x+2)2=9C. (x+1)2=6D. (x−2)2=9
5.在下列命题中，正确的是( )
A. 长度相等的弧是等弧B. 直径所对的圆周角是直角
C. 三点确定一个圆D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等
6.制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A. 360元B. 720元C. 1080元D. 2160元
7.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC.若∠B=22.5∘，CD=6，则⊙O的半径的长为( )
A. 3
B. 2 2
C. 2 5
D. 3 2
8.凸透镜成像的原理如图所示，AD//l//BC.若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的( ).
A. 59B. 49C. 34D. 45
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.一元二次方程x2=2的根是 .
10.已知a4=b3，则a+ba= .
11.小颖测得2m高的标杆在太阳下的影长为1.2m，同时又测得一棵树的影长为3.6m，请你帮助小颖计算出这棵树的高度为 .
12.设m、n是一元二次方程x2+2x−7=0的两个根，则m2+3m+n=______.
13.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为 .
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=80∘，则∠DCE=______ ∘.
15.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB=34∘，则∠ADC=______ ∘.
16.如图，AD是△ABC的中线，ED=2AE，BE的延长线交AC于点F，则AFAC的值为 .
17.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4m，⊙O的半径长为3m，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______m.
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠CBA=30∘，AC=2，D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是 .
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
解下列方程：
(1)(x−2)2−5=0；
(2)x2=6x；
(3)x2−5x+6=0；
(4)(x+1)(x−3)=3−x.
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(2,6)、(4,6)、(6,4).⊙M是△ABC的外接圆.
(1)点M的坐标为______，并在图中标出M；
(2)y轴与⊙M的位置关系是______；
(3)把△ABC以原点O为位似中心缩小到原来的12得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1.
21.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程nx2−2x+1=0(n≠0)有实数根.
(1)求n的取值范围；
(2)当n取最大值时，求方程nx2−2x+1=0(n≠0)的根.
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E.
(1)求证：△ADE∽△MAB；
(2)求DE的长．
23.(本小题8分)
一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为______件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24.(本小题8分)
某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图).在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF=2.8m，PQ=1.4m，QF=2m，FN=16m.求旗杆MN的高度.
25.(本小题8分)
“等弦”的探究.
(1)如图①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB=CD.由此，你能发现什么？小明发现点O到AB，CD的距离相等.小红发现延长AB，CD交于点P，则PA=PC.从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明.
(2)如图②，已知△ABC，⊙O与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等.若AC=3，BC=4，AB=5，⊙O的半径为r，则r的取值范围是______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：一元二次方程x2−4x−3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，−4，−3.
故选：D.
根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2.【答案】C
【解析】解：∵点P到圆心的距离OP=7cm，大于⊙O的半径6cm，
∴点P在圆外．
故选：C.
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d