江苏省常州市新北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版）

这是一份江苏省常州市新北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题2分，共16分）
1.在中，，若的三边都放大2倍，则的值（ ）
A.缩小2倍B.放大2倍
C.不变D.无法确定
2.已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ）
A.2B.3C.4D.5
3.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.2
4.如图，为弦，若，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ）
A.正十二边形
B.正十边形
C.正八边形
D.正六边形
5.将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是（ ）．
A.B.C.D.
6.如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A.B.
C.D.
8.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ）
A B.C.D.
二、填空题（每题2分，共20分）
9.若，则的值为______．
10.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______．
11.一个密码箱密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位．
12.已知：中，，，所对的边分别是，，，边，且满足，则边的长为______．
13.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长为________．

14.如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________．
15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______．

16.魏晋时期刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则______．
17.勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的面积之比为，则等于________．
18.如图，在矩形中，，，点D是线段的中点．点F，G分别在边和边上运动．将四边形沿直线翻折，得到四边形，且，则线段的取值范围是________．
三、解答题（共84分，第19题20分、第20题、21题、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题11分）
19.计算与解方程：
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
20.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出；
（2）以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出；
（3）直接写出的面积与四边形的面积之比为：___________．
21.某校召开趣味运动会，经过预赛激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
22.为解决老小区停车难问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？
23.如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．
①若，则该正n边形的“接近度”等于______；
②若“接近度”等于18，则该正n边形的边数n的值等于______；
③当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆．
（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为．于是，越小，正n边形就越接近于圆．你认为这种说法是否合理？若不合理，请写出正n边形“接近度”的一个合理定义．
24.年春晚中《秧》的舞蹈中，如图所示的机器人身穿红绿大花袄与舞蹈演员们整齐划一地扭秧歌，充分展示了传统与科技的完美融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距，图是其侧面示意图，机器人身体垂直于水平地面，胳膊段长，段长，胳膊与身体的夹角旋转的手绢近似圆形，半径，与保持垂直，与手绢旋转点之间的水平距离为．
（1）求的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．若图中机器人身体与舞者之间的距离为，此时手绢端点与舞者距离是否在安全距离范围内？请说明理由．
参考数据：
25.如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点．
（1）如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线；
（3）如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，．
①求出的长；
②写出的长为______．
26.已知的半径为，若点在外且上存在点，，使得，则称是的“领域点”．
（1）对以下情况，用三角尺或量角器尝试画图，并判断是否是的“领域点”在横线上填“是”或“不是”．
（2）若是的“领域点”，则长的取值范围是 ．
（3）如图，以圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，设直线与轴、轴分别相交于点，．
若线段上有且只有一个点是的“领域点”，求的值；
若线段上存在的“领域点”，求的取值范围．当时， “领域点”
当时， 的“领域点”
当时， 的“领域点”