2022-2023学年江苏省常州实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州实验中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知的半径为，为线段的中点，当时，点与的位置关系为(    )

A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定

2. 下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是(    )

A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数

4. 正方形的外接圆与内切圆的周长比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5. 圆锥底面半径是，母线是，则圆锥侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，等边三角形的边长为，以上一点为圆心的圆分别与边、相切，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点．则线段长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为______．
10. 已知关于的一元二次方程是常数的一个根是，则方程的另一个根是______．
11. 一组数据，，，，的极差为______．
12. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为______．
13. 如图，是的直径，弦于点，，，则______．

14. 直角三角形的两直角边长分别为和，它的外接圆的半径是______．
15. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作。当与正方形的边相切时，的长为______。

16. 如图所示，半圆的直径，弦，弦平分，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：；
    解方程：；
    解方程：；
    解方程：．
18. 本小题分
    九九班组织了一次经典朗读比赛，两班各人的比赛成绩如表分制：

九班成绩的平均数是______分，中位数是______分．
计算九班的平均成绩和方差．
已知九班成绩的方差是分，则成绩较为整齐的是______班．

19. 本小题分
    学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课现有以下社团：篮球、机器人、绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．
    甲选择“机器人”社团的概率是______ ；
    请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．
20. 本小题分
    年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店年月的销量为万件，年月的销量为万件．
    求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
    假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求年月“冰墩墩”的销量．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点、、．
    经过，，三点的圆弧所在圆的圆心点的坐标为______．
    的半径为______结果保留根号，的度数为______．
    若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径______结果保留根号
    点是第一象限网格中的一个格点，且直线与相切，写出满足条件的点的坐标______．

22. 本小题分
    如图，为的直径，为上一点，为的中点过点作直线的垂线，垂足为，连接．
    求证：；
    与有怎样的位置关系？请说明理由．
     
23. 本小题分
    如图，点、、在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．保留画图痕迹，不写画法
    
    在图中，作一个度数为的圆周角；
    如图，为的外接圆，直线与相切于点，且，在图中画出一条弦，使这条弦将分成面积和等的两部分．
24. 本小题分
    如图，在中，，是边上的一点，以为直径的经过的中点，交的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长．

25. 本小题分
    已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点，．
    如图，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；
    如图，已知直线：分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆．
    当点与点重合时，求证：直线与相切；
    设与直线相交于，两点，连结，问：是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的半径为，
半径，
点与的位置关系为：点在圆内．
故选：．
，为线段的中点，则，因而点与的位置关系为：点在圆内．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，方程没有实数根；
B、，方程有两个相等的实数根；
C、，方程没有实数根；
D、，方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断．
本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示，
连接、，
是小圆的切线，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
设，
则，
故，
即正方形的外接圆与内切圆的周长比为：：．
故选：．
根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
本题考查的是正方形的性质及勾股定理．根据题意画出图形，利用数形结合求出答案是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得圆锥侧面积
故选：．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
是的直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后计算计算．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与的切点为，
连接，，

等边三角形的边长为，
，，
圆分别与边，相切，
，
，
，
，
，
的半径为，
故选：．
设与的切点为，连接，，根据等边三角形的性质得到，，由切线的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
点在以为直径的圆上，
为直径的圆的圆心为点，如图，
连接交于，

，，
，，
当且仅当、、共线时取等号，
即，
直线时，最短，的最小值为，
线段长的最小值为．
故选：．
利用圆周角可判断点在以为直径的圆上，如图，连接交于，由于当且仅当、、共线时取等号即，由于直线时，最短，的最小值为，所以线段长的最小值为．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂线段最短．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：一元二次方程，
，
方程的一个根是，
方程的另一个根为，
故答案为：．
将代入方程，由根与系数的关系可得，求解即可．
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：这组数据的极差是；
故答案为：．
根据极差的定义即可求得．
此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据利润售价进价销售量，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是直径，
，
在中，，
，
故答案为．
根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
首先根据勾股定理，得斜边是，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【解答】
解：直角边长分别为和，
斜边是，
这个直角三角形的外接圆的半径为．
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】无效纠错解：如图中，当与直线相切时，设

在中，

，
如图中当与直线相切时，设切点为，连接，则，四边形是矩形


在中，
综上所述，的长为或。
分两种情形分别求解：如图中，当与直线相切时；如图中当与直线相切时，设切点为，连接，则，四边形是矩形。
 

16.【答案】 

【解析】解：连接、、，如图，

为半圆的直径，
，
在中，，，
，
平分，
，
弧弧，
垂直平分，
，，
，
在中，，
在中，．
连接、、，如图，根据圆周角定理得，在中利用勾股定理计算出，由于，根据圆周角定理得到弧弧，再根据垂径定理的推理得垂直平分，则，，所以，在中利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理可计算出．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
 

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】方程利用直接开平方法求解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可；、
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
 

18.【答案】    九 

【解析】解：九班成绩的中位数是：分，
平均数为：分，
故答案为：；；
九班的平均数为：分，
九班的方差为

；
九班成绩的方差是，
，
成绩较为整齐的是九班．
故答案为：九．
利用平均数的定义以及中位数的定义分别求出即可；
首先求出平均数进而利用方差公式得出即可；
利用方差的意义进而得出即可．
此题主要考查了众数、中位数的定义以及方差的定义和性质，正确记忆方差公式是解题关键．
 

19.【答案】解：；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有个，
甲、乙两人选择同一个社团的概率为． 

【解析】解：因为只有个社团：篮球、机器人、绘画，
所以甲选择“机器人”社团的概率是，
故答案为：；
见答案．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

20.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
万件．
答：年月“冰墩墩”的销量为万件． 

【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，利用年月的销量年月的销量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
利用年月的销量年月的销量月平均增长率，即可求出年月“冰墩墩”的销量．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

21.【答案】       或或或或 

【解析】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，

故答案为：；
连接，，过点作轴于，

点，点，
，，
，
的半径为，
点、、，
，，，，
，，
又，
≌，
，
，
，
故答案为：，；
设圆锥的底面半径为，
，
，
故答案为：；
如图，

点，点，
直线的解析式为：，
与相切，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
点坐标为：或或或或，
故答案为：或或或或．
作，的垂直平分线交于点，即可求解；
由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得，由余角的性质可求解；
由弧长公式可求解；
先求出的解析式，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

为的中点，
，
，
，
；
解：与相切，
理由：，
，
，
，
与相切． 

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
连接，由为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论；
根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
 

23.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】在优弧上任意取得，理解，即可；
作直线交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，圆内接四边形，圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，垂径定理等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】证明：连接．

是直径，
，
，，
，
，
，
．

解：，
，
，
，
，
，
，设，
在中，，
，
，
． 

【解析】连接证明是线段的垂直平分线即可解决问题；
首先求出、、的长，设，在中，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：如图，连接，

，点在上，
与直线相切于点，
，而，
为等腰直角三角形，
则的直径长；
过点作，

由直线：得：点，
则圆的半径，
故点是圆与直线的切点，
即：直线与相切；
如图，
当点、在两条直线交点的下方时，

由题意得：，，
设点的坐标为，则点，
则，
解得：；
当点、在两条直线交点的上方时，
同理可得：；
故点的坐标为或 

【解析】证明为等腰直角三角形，则的直径长，即可求解；
证明圆的半径，即可求解；
分点、在两条直线交点的下方、点、在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中，关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．