2025-2026学年北京三十五中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年北京三十五中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=3（x-1）2-2的顶点坐标是（ ）
A. （1，-2）B. （-1，2）C. （1，2）D. （-1，-2）
2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.以下剪纸中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）
A. B. C. D.
3.已知点A（-1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-3x2上，则y1，y2大小关系正确的是（ ）
A. y1＞y2B. y1=y2C. y1＜y2D. 不能确定
4.将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A. y=2（x+1）2+3B. y=2（x-1）2-3C. y=2（x+1）2-3D. y=2（x-1）2+3
5.某厂家2022年1至5月份的某种产品产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程（ ）
A. 180（1-x）2=461B. 368（1-x）2=442
C. 180（1+x）2=461D. 368（1+x）2=442
6.“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用.已知半径为20cm的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△ADE，AB与CE相交于点F，下列说法错误的是（ ）
A. 若AD∥CE，则∠BAE=30°
B. ∠BAE=2∠BCE
C. ∠B=∠AEC
D. 连接BE及CD，则BE∥CD
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，0），对称轴为x=-1.下面有四个结论：①abc＜0；②2a-b＜0；③4a+c＞2b；④关于x的不等式ax2+（b+c）x＞0的解集为0＜x＜1.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是 .
10.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为5，则点 P（3，-4）在⊙O______．（填“内”、“上”或“外”）
11.已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点（1，0），写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 .
12.二次函数y=x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则整数a的最小值是 .
13.如图，某汽车车门的底边长为1m,车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是 m2.（结果保留π）
14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．若∠APB=60°，OA=2，则PB的长为 ．
15.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，∠C=135°，AD=2，则AB= .
16.如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB，连接AE，以AE为腰，A为直角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大，且最大值为+1时，则AB .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解方程：x2-6x+2=0.
18.(本小题5分)
已知：A，B是直线l上的两点.
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB=150°.
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③在劣弧上任取一点C（不与A，B重合），连接AC，BC.△ABC就是所求作的三角形.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：在优弧上任取一点M（不与A，B重合），连接AM，BM，OA，OB.
∵OA=OB=AB.
∴△OAB是等边三角形.
∴∠AOB=60°
∵A，B，M在⊙O上.
∴（______）（填推理依据）.
∴∠AMB=30°，
∵四边形ACBM内接于⊙O.
∴∠AMB+∠ACB=______.
∴∠ACB=______.
19.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，-3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′.
（1）画出旋转后的图形△OA′B′；
（2）直接写出点B′的坐标；
（3）求点B经过的路径的长（结果保留π）.
20.(本小题5分)
在△ABC中，∠C=90°，AC=BC.将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，直线DE交BC于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）若CF=1，求线段AD的长.
21.(本小题5分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=4，AC=．
（1）求点O到AC的距离；
（2）直接写出弦AC所对的圆周角的度数．
22.(本小题5分)
已知关于x的方程x2-mx+2m-4=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求m的最小整数值．
23.(本小题5分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）当-3＜x＜3时，直接写出y的取值范围.
24.(本小题6分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB.交CB的延长线于点E.
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=30°，，求CD的长.
25.(本小题6分)
如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线M和下方拱线N的最高点均为点C，拱门的跨径间对称分布有8根立柱.他搜集到两条拱线的相关数据，拱线N的跨径AB长为14m,高HC为右侧的四根立柱在拱线N上的端点D，E，F，B的相关数据如下表所示.
所查阅的资料显示：拱线M为某个圆的一部分，拱线N为某条抛物线的一部分.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选取拱线M上的任意三点，通过尺规作图作出拱线M所在的圆；
（2）建立适当的平面直角坐标系，选取拱线N上的点，求出拱线N所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线N上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）.
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a-1，n），是抛物线y=ax2-2a2x上的点，x0≠a-1.
（1）当x0=2，m=n时，求a和n的值；
（2）若-4≤x0≤-3时，mn＜0，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
已知△ABC 是等边三角形，点D在△ABC 内部，且∠BDC=120°.
（1）如图1，设∠ABD=α，求∠ACD的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，点E是BC的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD与DE之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知A（t-2，0），B（t+2，0）.
对于点P给出如下定义：若∠APB=45°，则称P为线段AB的“等直点”.
（1）当t=0时，
①在点，P2（-4，0），，P4（2，5）中，线段AB的“等直点”是______；
②点Q在直线y=x上，若点Q为线段AB的“等直点”，直接写出点Q的横坐标.
（2）当直线y=x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，直接写出t的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】（4，-1）
10.【答案】上
11.【答案】y=x2-2x+1（答案不唯一）
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】2
16.【答案】=2
17.【答案】解：∵x2-6x+2=0，
∴x2-6x=-2，
∴x2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，
∴x-3=±，
∴x1=3+，x2=3-．
18.【答案】根据题意补全图形，如图即为所作；

在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；180°，150°
19.【答案】解：（1）△OA′B′即为所求，如图．

点A′（0，-5）；
（2）由图知，B（3，4）；
（3）OB==5，∠AOA′=90°，
∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′==．
20.【答案】解：（1）如图所示．

（2）设直线DE交AB于点G，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
由旋转得，AE=AC，AD=AB，∠AED=∠ACB=90°，∠CAE=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠ACE=60°，AC=CE，
∴∠ECF=30°．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EAG=∠CAE-∠BAC=15°，
∴∠AGE=∠BGF=180°-15°-90°=75°，
∴∠BFG=180°-45°-75°=60°，
∵∠BFG=∠ECF+∠CEF，
∴∠CEF=30°，
∴∠ECF=∠CEF，
∴EF=CF=1．
在Rt△EFH中，∠EFH=60°，
∴EH=EF•sin60°=，
在Rt△CEH中，∠ECH=30°，
∴CE=2EH=，
∴AC=，
∴AB=AC=，
∴AD=．
21.【答案】解：（1）过点O作OE⊥AC于点E，
则CE=AC．
∵AC=，
∴CE=，
在Rt△OCE中，OC=4，
∴OE=．
∴点O到AC的距离为．
（2）连接OA．
∵由（1）知，在Rt△OCE中，CE=OE，
∴∠OCE=∠EOC=45°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°．
∴∠AOC=90°．
∴∠B=45°，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°．
22.【答案】（1）证明：a=1，b=-m,c=2m-4．
∵Δ=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-4）=m2-8m+16=（m-4）2≥0，
∴无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2-mx+2m-4=0，
即（x-2）[x-（m-2）]=0，
解得：x1=2，x2=m-2．
∵该方程的两个根均为正数，
∴m-2＞0，
∴m＞2，
∴m可以取的最小整数值为3．
23.【答案】解：（1）由表格可知当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，
∴对称轴为直线；
（2）当x=-2时，y=3；当x=-1时，y=2，当x=0时，y=3，分别代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：
∴y=x2+2x+3；
（3）∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴开口向上．
∵对称轴为直线x=-1，
∴当-3＜x＜-1时，y随x的增大而减小，当-1≤x＜3时，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，y有最小值，
由表格可知ymin=2．
∵x=3到对称轴x=-1的距离比x=-3到对称轴x=-1的距离大，
当x=3时，y=9+6+3=18，
∴当-3＜x＜3时，y＜18，
∴2≤y＜18．
24.【答案】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOD=∠BOD=180°=90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵∠BAC=30°，，
∴AB=2BC=4．
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD=AB=4，
过点B作BF⊥CD于点F，
∵∠CDB=∠CAB=30°，
∴BF=BD=2，
∴DF==2，
∵∠BOD=2∠BCD=90°，
∴∠BCD=45°，
​​​​​​​∴△BFC为等腰直角三角形，
∴CF=BF=2，
∴CD=CF+DF=2+2．
25.【答案】见解析 函数解析式为：y=-（x-7）（x+7），点D、E、F、B都在拱线N所在的抛物线上
26.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2-2a2x,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=a,
∵x0=2，m=n,
∴点（2，m），（a-1，n）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==a,
∴a=1，
∴抛物线为y=x2-2x,
把点（0，n）代入得n=0．
（2）∵抛物线y=ax2-2a2x,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=a,
当x=0时，y=0，
∴抛物线经过原点，
∴抛物线过点（2a,0），
当抛物线开口向下时，则a＜0，
∵-4≤x0≤-3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴，
解得-＜a＜-1；
当抛物线开口向上时，则a＞0，
∵-4≤x0≤-3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴a-1＞0，
解得a＞1；
故a的取值范围是或a＞1．
27.【答案】60°-α 证明见解析
28.【答案】解：（1）①点 P1，P3；
②由点Q在直线y=x上，设Q（m,m），
∵点Q为线段AB的“等直点”，
∴CQ=，
∴，
解得，（不合题意舍去），
利用对称性可求第三象限也存在符合题意的点Q，它们关于原点对称，
∴此时的点Q的横坐标为-1-．
∴点Q的横坐标为1+或-1-．
（2）∵A（t-2，0），B（t+2，0），
∴AB=4，AB的中点的横坐标为t,
由（1）知：线段AB的“等直点”在以AB为弦的优弧上，即圆心在直线y=2或y=-2上，2为半径的圆的优弧上．
①当t＞0时，设直线y=x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，
则F（0，t），N（-t,0），
∴OF=ON=t,
∴∠NFO=∠FNO=45°．
⊙C为一个符合条件的圆，设直线y=x+t与⊙C相切于点E，交直线y=2于点G，直线y=2与y轴交于点H，连接CE，则CE⊥EF，过点C作CM⊥AB于点M，则M为AB的中点，
∴OM=t,
∵CM⊥AB，HO⊥AB，CH⊥OH，
∴四边形OMCH为矩形，
∴CH=OM=t.
由题意：OH=2，OF=t,CE=2，
∴HF=OF-OH=t-2，
∴GH=HF-OH=t-2，
∴CG=GH+CH=t-2+t=2t-2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC=∠FNO=45°，
∴CG=CE，
∴2t-2=，
∴t=3．
∴当直线y=x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＜3，
由于当t=1时，y=x+1经过点A，符合条件的点只有一个，
∴t≠1．
②当t＜0时，设直线y=x+t与x轴交于点N，与y轴交于点F，如图，
则F（0，t），N（-t,0），
∴OF=ON=-t,
∴∠NFO=∠FNO=45°．
⊙D为一个符合条件的圆，设直线y=x+t与⊙D相切于点E，直线y=-2交直线y=x+t于点G，直线y=-2与y轴交于点H，连接DE，则DE⊥EF，过点D作DM⊥AB于点M，则M为AB的中点，
∴OM=-t,
∵DM⊥AB，HO⊥AB，DH⊥OH，
∴四边形OMDH为矩形，
∴DH=OM=-t.
由题意：OH=2，OF=-t,DE=2，
∴HF=OF-OH=-t-2，
∴GH=HF-OH=-t-2，
∴DG=GH+DH=-t-2-t=-2t-2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC=∠FNO=45°，
∴CG=CE，
∴-2t-2=，
∴t=-3．
∴当直线y=x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t＞-3，
由于当t=-1时，y=x+1经过点B，符合条件的点只有一个，
∴t≠-1．
综上，当直线y=x+t上存在线段AB的两个“等直点”时，t的取值范围为-3＜t＜3且t≠±1．​​​​​​​ x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
6
11
…
点D
点E
点F
点B
距HC的水平距离（m）
4
5
6
7
距AB的竖直距离（m）
4.125
3.000
1.625
0