2025-2026学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，3B. 2，1，-3C. 2，-1，3D. 2，-1，-3
2.铜镜是中国古代艺术的灿烂瑰宝.下列铜镜图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3.将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y=2（x+1）2B. y=2（x-1）2C. y=2x2+1D. y=2x2-1
4.物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心O旋转n°后能与自身重合，那么n的值可能是（ ）
A. 22.5
B. 30
C. 45
D. 60
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标均为整数，△DEF可由△ABC绕点M旋转得到，则点M的坐标是（ ）
A. （3，0）B. （0，3）C. （2，2）D. （3，2）
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. a＜0
B. ac＞0
C.
D. b2-4ac＞0
7.随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活.北京市新能源汽车保有量从2022年的61.7万辆到2024年的100.9万辆，呈现出逐年增加的趋势.设新能源汽车的保有量从2022年到2024年的年平均增长率为x,则下面所列方程正确的是（ ）
A. 2×61.7x=100.9B. 61.7x2=100.9
C. 61.7x+61.7x2=100.9D. 61.7（1+x）2=100.9
8.如图，边长为10的等边△ABC绕它的中心O顺时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△DEF，DF分别与AB，AC交于点M，N.给出下面三个结论：
①AM的长随α的增大而增大；
②AM的取值范围是0＜AM＜5；
③当α=30°时，AM=2.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于原点对称点P′的坐标为 .
10.写出一个一元二次方程，使它的两根互为相反数，该方程可以是______．
11.在平面直角坐标系xOy中，若点（-2，a）和点（3，b）在二次函数y=（x+1）2的图象上，则a b（填“＞”“＜”或“=”）.
12.若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，4）.将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 .
14.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表：
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2的解是 .
15.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2.将一块边长足够长的三角板的60°角顶点与点A重合，三角板的外侧边沿分别与BC，CD交于点E，F，则四边形AECF的面积是 .
16.对任意实数x,可用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[2]=2，[-0.6]=-1.称函数y=ax2+b[x]+c（b≠0）为“涟漪函数”.
（1）当a=c=0时，若y=b,则x的取值范围是______；
（2）当，b=-1，c=1时，“涟漪函数”与x轴共有______个公共点.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：x2-6x=7．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D为AC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接BD，CE.
求证：BD=CE.
19.(本小题5分)
已知m是方程x2+3x-1=0的一个根，求代数式（m+2）（m-2）+（m+3）2的值.
20.(本小题6分)
已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴的交点为（0，3），抛物线的对称轴为直线x=1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出抛物线；
（3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围.
21.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0.
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程有一个根大于3，求m的取值范围.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4，2），B（-2，-2），C（0，3），将线段AB绕点O旋转180°得到线段A′B′（A′是点A的对应点）.
（1）在平面直角坐标系xOy中画出线段A′B′；
（2）若点P在线段AB上，P′是点P关于点O的对称点.
①当点P与点B重合时，△CPP′的面积等于______；
②△CPP′的面积S的取值范围是______.
23.(本小题6分)
某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整.在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵.当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵.该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4.求此次参加表演的机器人的总个数.
24.(本小题5分)
已知抛物线y=（x+1）2-4与x轴正半轴交于点A，顶点为B.
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点P（t,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AB于点N，当MN的长为3时，直接写出t的值.
25.(本小题6分)
小君在课后探究学习中遇到一个函数.她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题：
（1）函数的自变量x的取值范围是______；
（2）小君写出该函数x与y的部分对应值如下表：
①m的值为______；
②小君发现该函数的图象关于y轴对称，并用软件画出了该函数在x≥0时的图象，请在平面直角坐标系xOy中补全该函数的图象；
（3）写出方程最小的解的近似值：______（精确到0.1）；
（4）过点（0，n）作垂直于y轴的直线l,若直线l与函数的图象有两个公共点，则n的取值范围是______.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2a2x（a≠0）经过点A（-1，m）和点B（3，n）.
（1）当a=1时，比较m,n的大小，并说明理由；
（2）当-1≤x≤3时，y随x的增大而减小，且y的最大值与最小值的差为h,求h的最小值.
27.(本小题7分)
在正方形ABCD中，点E在射线BC上，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转135°得到线段AF，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.
（1）如图1，点E与点B重合，若AB=2，求BG的长；
（2）如图2，点E在BC的延长线上，用等式表示BG，BE和AB的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和直线l,给出如下定义：将图形M绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到图形M′，再将图形M′关于直线l对称，得到图形N，则称图形N为图形M的“α-l变换图形”.
（1）已知点A（2，2），B（0，3），图形M为线段AB.
①当直线l为y轴时，图形M的“90°-l变换图形”为N，则以下说法正确的是______；
A.图形M与图形N关于原点中心对称
B.图形M与图形N关于y轴对称
C.图形M与图形N关于直线y=x对称
D.图形M与图形N关于直线y=-x对称
②当直线l为y=x时，若图形M的“α-l变换图形”与x轴负半轴有公共点，直接写出α的取值范围；
（2）已知正方形EFGH的顶点坐标分别为E（3，3），F（3，-3），G（-3，-3），H（-3，3），长为的线段CD（点C在点D左侧）在直线上，且点C的横坐标为t,直线l由直线x=0绕点（0，t）逆时针旋转30°得到.若线段CD的“120°-l变换图形”与正方形EFGH有公共点，直接写出t的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】（-2，-3）
10.【答案】x2-4=0
11.【答案】＜
12.【答案】4
13.【答案】（6，2）
14.【答案】x1=-1，x2=3
15.【答案】
16.【答案】1≤x＜2；
1
17.【答案】解：∵x2-6x=7，
∴x2-6x-7=0，
∴（x-7）（x+1）=0，
则x-7=0或x+1=0，
解得x1=7，x2=-1．
18.【答案】∵将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，
∴AD=AE，∠CAE=α，
∴∠CAE=∠BAD=α，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD=CE．
19.【答案】7．
20.【答案】y=-x2-2x+3；
抛物线的顶点为（1，4），
在平面直角坐标系xOy中画出抛物线如图：
；
0＜y≤4
21.【答案】∵a=1，b=m，c=m-1，
∴Δ=m2-4（m-1）=（m-2）2≥0，
∴无论m为何值，方程总有实数根．
m＜-2
22.【答案】图见解答；
①6；②6≤S≤12
23.【答案】此次参加表演的机器人的总个数为64．
24.【答案】y=2x-2；
t的值为2或-2
25.【答案】所有实数；
①；
②补全图象：

-0.9；
或n＞0
26.【答案】m=n
h的最小值为16
27.【答案】BG=；
；
证明：如图2，连接CA，并延长交FG于点I．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ACB=45°，，
∴∠ACE=180°-∠ACB=135°，
∵FG⊥BC，
∴∠CGF=90°，
∴∠CIG=45°，
∴∠CIG=∠ACB．
∴Gl=GC．
∴∠AIF=∠CGF+∠ACB=135°．
∴∠AIF=∠ACE．
∵线段AE绕点A逆时针旋转135°得到线段AF，
∴AF=AE，∠EAF=135°，
∴∠FAI=180°-∠EAF-∠CAE=45°-∠CAE，
∵∠AEC=∠ACB-∠CAE=45°-∠CAE，
∴∠FAI=∠AEC，
∴△AIF≌△ECA（AAS）．
∴AI=CE．
在等腰Rt△CGI中，，
∴，
∴，
∴
28.【答案】①D；②135°≤α≤180°；
或 x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
-1
-2
-1
2
7
…
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-1
m
0
-1
0
459
…