2025-2026学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次函数y=2（x-3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A. （2，3）B. （2，1）C. （3，-1）D. （3，1）
2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3.不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别.随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A. 3个球都是白球B. 至少有1个黑球C. 3个球都是黑球D. 有1个白球2个黑球
4.若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y＝5（x－2）2＋1B. y＝5（x＋2）2＋1
C. y＝5（x－2）2－1D. y＝5（x＋2）2－1
5.北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. 7000（1+x）2=8470B. 7000x2=8470
C. 7000（1+2x）=8470D. 7000（1+x）3=8470
6.在平面直角坐标系xOy中，若点（4，y1），（6，y2）在抛物线y=a（x-3）2+1（a＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A. 1＜y1＜y2B. 1＜y2＜y1C. y2＜y1＜1D. y1＜y2＜1
7.如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 75°
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（-1，0）.下面有四个结论：①a＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＞0；④关于x的不等式ax2+（b-c）x＞0的解集为-1＜x＜0.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.在平面直角坐标系中，点A（3，-4）关于原点的对称点的坐标为 .
10.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
11.已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，则2m2-4m+5= ______.
12.已知二次函数y=x2+bx,当x＞1时，y随x的增大而增大.写出一个满足题意的b的值为 .
13.如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为______________．
14.如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD.那么∠BCD= .
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将△DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是______．
16.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM.若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解方程：x2-6x-1=0．
18.(本小题5分)
已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP=______．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC=∠BAC（______）（填推理的依据）．
∴∠ABP=∠BAC．
19.(本小题5分)
如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交圆弧于点E，并且CD=4m,EM=6m,求⊙O的半径.
20.(本小题5分)
已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）.
（1）画出△ABC和△ABC关于原点成中心对称的ΔA1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O按顺时针旋转90°所得的ΔA2B2C2.
21.(本小题5分)
如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE.
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC=96°，求∠BED的度数.
22.(本小题5分)
已知二次函数y=x2-2x-3.
（1）将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当-1＜x＜2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围.
23.(本小题6分)
二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上.

（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______；
（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率.
24.(本小题6分)
已知关于x的方程x2-（m+4）x+2m+4=0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根比另一个根大3，求m的值.
25.(本小题6分)
小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy.

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1 直发式
表2 间发式
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中m= ______，n= ______；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 ______d2（填“＞”“=”或“＜”）.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点.
（1）当m=-1时，有y1=y2，求a的值；
（2）若a＞0，当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，求n的取值范围.
27.(本小题7分)
在△ABC中，AD⊥BC于点D，，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE.
（1）如图1，当AD=DC=1时，补全图形，并求DE的长；
（2）如图2，取AE的中点F，连接DF，用等式表示线段DF与AC的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边OA，OB上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线MN对称，则称点P为△OAB的“翻折点”.
（1）已知A（3，0），B（0，3）.
①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；
②P是线段AB上一动点，当P是△OAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；
（2）直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，若存在以直线AB为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】（-3，4）
10.【答案】
11.【答案】11
12.【答案】-2（答案不唯一）
13.【答案】3
14.【答案】55°
15.【答案】（2，2）
16.【答案】
17.【答案】解：∵x2-6x-1=0，
移项得x2-6x=1，
配方得x2-6x+9=10，
即（x-3）2=10，
开方得x-3=±，
则x1=3+，x2=3-．
18.【答案】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）∠BPC；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
19.【答案】解：连接CO，
∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM=CD=×4=2m
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为r m，
∵OC2=OM2+CM2，
∴r2=（6-r）2+22，
整理得，12r=40，
解得r=，
即⊙O的半径为m.
20.【答案】解：（1）由题意得，根据坐标A（5，4），B（0，3），C（2，1）找到A、B、C三点连接AB、BC、AC，即可得到△ABC图象如图所示，根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点，找到A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、A1C1，即可得到△A1B1C1的图象如图所示，

由图象可得C1（-2，-1）；
（2）根据旋转的性质：旋转图形形状大小不变知识位置发生改变，顺时针旋转90°找出A2、B2、C2，连接A2B2、B2C2、A2C2如图所示，
．
21.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
由旋转得AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°-∠BAD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
（2）解：∵AE=AD，∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=96°，
∴∠BED=∠AEB-∠AED=96°-60°=36°，
∴∠BED的度数是36°．
22.【答案】y=（x-1）2-4；
；
-4＜y＜0
23.【答案】
24.【答案】见解答；
±3
25.【答案】解：（1）3.84，2.52；
（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：
“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），
∴设此抛物线的解析式为y=a（x-4）2+4（a＜0），
把（0，3.84）代入，得3.84=a（0-4）2+4，
解得：α=-0.01，
∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=-0.01（x-4）2+4；
（3）=．
26.【答案】解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-2a2x+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x==a.
∵点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点，且当m=-1时，有y1=y2，
∴=a,
解得：a=-，
∴a的值为-；
（2）∵a＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大．
又∵当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，
∴若n＞0，则na≥-a+2[a-（-a）]，
解得：n≥3；
若n＜0，则（n+1）a≤-a,
解得：n≤-2．
∴n的取值范围为n≤-2或n≥3．
27.【答案】解：（1）如图所示，

取BC的中点M，连接AM、CE、BE，
∵，AD=DC=1，
∴BC=2，
∴，
∴DM=CM-CD=2-1=1，
∴AD=DM，
∵AD⊥BC，AD=DC=1，
∴∠AMC=∠ACM=∠CAD=45°，
∴AM=AC，∠MAC=90°，∠EAC+∠DAE=45°，∠ABM+∠BAM=45°，
∴∠EAC+∠MAE=90°，
由旋转得：∠BAE=90°，AB=AE，
∴∠BAM+∠MAE=90°，
∴∠BAM=∠EAC，
∴∠ABM=∠DAE，
在△BAM和△EAC中，
，
∴△BAM≌△EAC（SAS），
∴BM=EC=2，∠ABM=∠AEC，
∴∠AEC=∠DAE，
∴AD∥CE，
∴CE⊥BC，
∴；
（2），理由如下：
取BC的中点M，连接AM、BE，延长DC至N，使DN=DM，连接EN，延长DF交EN于P，

∴，
∵AD+CD=BC，
∴AD=DM，
∴AD=DN，BM=AD+CD，
∵AD⊥BC，
∴∠AMN=∠ANM=45°，AM=AN，
∴∠MAN=90°，
∵EN⊥BC，
∴∠DNP=∠ADC=90°，AD∥EN，
∴∠DAF=∠PEF，
由（1）同理可证：BM=EN，
∴BM=EP+PN，
∴AD+CD=EP+PN，
∵F是AE的中点，
∴AF=EF，
在△ADF 和△EPF中，
，
∴△ADF≌△EPF（ASA），
∴AD=EP，DF=PF，
∴CD=PN，DF=DP，
在△ADC和△DNP中，
，
∴△ADC≌△DNP（SAS），
∴AC=DP，
∴．
28.【答案】解：（1）①∵A（3，0），B（0，3），
∴OA=3，OB=3，则AB=6，
∴tan∠OBA===，
∴∠OBA=30°，则∠BAO=60°，
∵点M与点A重合，点N与点B重合，
∴OA=PA=3，∠OAP=120°，
过点P作PD⊥x轴于点D，

依题意OA⊥AB，则PA=OA=3，∠POA=30°，
∴PD=，AD=，
∴OD=OA+AD=，
∴△OAB的“翻折点”的坐标为P（，）；
②∵点O与点P关于MN对称，
∴MN为线段OP的垂直平分线，
当点N运动到点B时，NO=NP=3，
AP=6-3，
当点M运动到点A时，AP=OA=3，
∴6-3≤PA≤3．

（2）直线y=-x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，
令x=0，则y=b,令y=0，解得x=b,
∴A（b,0），B（0，b），
对于Rt△OAB中，先固定N点，当M运动时始终由NO=NP，
∴在M运动时，P点到轨迹为以N为圆心，NO为半径的一段圆弧上，临界点分母是M与点O与点A重
合时，
当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，

该图形为：以A为圆心，b为半径的⊙A与以B为圆心，b为半国的⊙B的两圆的公共部分，
当以直线4B为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任第一点都是△OAB的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内．
∵⊙A的半径大于⊙B的半径，
∴当等腰直角三角形的料边刚好在⊙A上（即为⊙A的弦）时，可得b的最大值，

∴（1+b）2+12=（b）2，
解得：b=，
∴b≥． x（dm）
0
2
4
6
8
10
16
20
…
y（dm）
3.84
3.96
4
3.96
m
3.64
2.56
1.44
…
x（dm）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
…
y（dm）
3.36
n
1.68
0.84
0
1.40
2.40
3
3.20
3
…