2025-2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年天津市北辰区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x2+2y=1B. x2-2x=3C. D. ax2=0
3.用配方法解一元二次方程x2-10x+21=0，下列变形正确的是（ ）
A. （x-5）2=4B. （x+5）2=4C. （x-5）2=121D. （x+5）2=121
4.抛物线y=（x+2）2+1可由抛物线y=x2平移得到，下列平移正确的是（ ）
A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b与c的值分别为（ ）
A. b=3，c=2B. b=3，c=-2C. b=-3，c=2D. b=-3，c=-2
6.已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m+2024的值等于（ ）
A. 2025B. 0C. -2024D. 2023
7.关于抛物线y=3（x-1）2+2，下列说法错误的是（ ）
A. 开口方向向上B. 对称轴是直线x=1
C. 顶点坐标为（1，2）D. 当x＞1时，y随x的增大而减小
8.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k＜1且k≠0C. k≠0D. k＞1
9.设A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）是抛物线y=x2+2x-9上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y2＞y1＞y3
10.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A. x（x+1）=90B. x（x+1）=90C. x（x-1）=90D. x（x-1）=90
11.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，下列结论一定正确的是（ ）
A. AB=AEB. ∠ABC+∠E=180°C. AC平分∠BCDD. BC+CD=AE
12.二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：
①abc＜0；
②b-2a＞0；
③a+b+c=0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1；
⑤am2+bm＞a-b.
其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.一元二次方程x2-6=0的解为 .
14.在平面直角坐标系中，点M（-5，4）关于原点对称的点的坐标是______．
15.一元二次方程（x-2）（x+5）=0的较小的根为 .
16.已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，则m的值是 .
17.如图，边长为2的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到正方形AB1C1D1，则它们公共部分的面积为 .
18.如图，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，-1）小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.
（Ⅰ）AB= ；
（Ⅱ）写出旋转中心的坐标是 .
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
选择适当的方法解下列方程：
（1）x2+2x=6；
（2）3（x-2）2=x2-4.
20.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上.
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出A1、B1、C1三点的坐标.
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标.
21.(本小题10分)
如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m.
（1）BC的长为______m；x的取值范围是______；
（2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2
22.(本小题10分)
已知抛物线y=x2+（m-1）x+m-2的对称轴为直线x=1，请你解答下列问题：
（1）求m的值及顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，并画出函数图象；
（3）当x＜1时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）；
（4）当y＜0时，x的取值范围是______.
23.(本小题10分)
某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件.
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元.
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大，最大值是多少？
24.(本小题10分)
P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BQ，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.
25.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】C
12.【答案】B
13.【答案】，
14.【答案】（5，-4）
15.【答案】x=-5
16.【答案】2
17.【答案】
18.【答案】2
（1，1）或（4，4）

19.【答案】x1=-1+，x2=-1-；
x1=2，x2=4
20.【答案】；A1（3，5），B1（2，1），C1（5，2）．
；A2（-3，-5），B2（-2，-1），C2（-5，-2）
21.【答案】60-2x；17.5≤x＜30；
当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2
22.【答案】m=-1，顶点坐标为（1，-4）； 抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0），函数图象如图所示； 减小； -1＜x＜3．
23.【答案】商场经营该商品原来一天可获利润2000元；
①每件商品应降价2元或8元；
②y=-10x2+100x+2000；当x=5时，商店所获利润最大，最大值为2250
24.【答案】猜想：AP=CQ．
证明：由旋转得，BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴∠QBC+∠PBC=60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ．
△PQC是直角三角形．
理由：设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
由旋转得，BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形．
∴PQ=PB=4a．
由 知，AP=CQ，
∴CQ=3a．
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2，
∴△PQC是直角三角形
25.【答案】解：（1）∵将点A（-1，0）和点C（2，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y═-x2+2x+3．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
（2）如图，过P点作PQy轴交AC于点Q,
设点P（m，-m2+2m+3），
∴Q（m，m+1），
∴PQ=（-m2+2m+3）-（m+1）=-m2+m+2=-（m-）2+，
∴S△APC=S△QPC+S△APQ=PQ×|xC-xA|
=[-（m-）2+]×3=-（m-）2+，
∴当m=时，S△APC最大=，
yp=-m2+2m+3=，
∴P（，）；
（3）如图1所示，过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M，此时MN+MD取最小值，
∵当x=0时y═3，
∴N（0，3）．
∵点N与点N′关于x=3对称，
∴N′（6，3）．
∵y═-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）．
设DN′的解析式为y=kx+b．
将点N′（6，3）与点D（1，4）代入得：，
解得：k=-，b=．
∴直线DN′的解析式为y=-x+．
当x=3时，n=+=．