2025-2026学年北京171中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京171中八年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. 浙江大学B. 北京大学
C. 中国人民大学D. 清华大学
2.“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为0.0001m，具有极高的科研价值.数据“0.0001m”用科学记数法表示为( )
A. 1.0×10−4mB. 0.1×10−4mC. 1.0×10−5mD. 0.1×10−5m
3.下面计算正确的是( )
A. a3⋅a3=2a3B. 2a2+a2=3a4
C. a9÷a3=a3D. (−3a2)3=−27a6
4.已知长度分别为3cm和5cm的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是( )
A. 2cmB. 3cmC. 8cmD. 9cm
5.如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1=20∘，∠C=60∘，则∠AEB等于( )
A. 90∘
B. 80∘
C. 60∘
D. 50∘
6.一个正多边形的每个外角都等于36∘，那么它是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
7.下列分式中是最简分式的是( )
A. 2x4x2B. x−yx+yC. x2+2x+1x+1D. 1−xx−1
8.在平面直角坐标系中，A(0,5)，B(5,0)，C(−2,0)，BD⊥AC于点D，交y轴于点E，连接OD.下列结论中正确的有( )
①AO=BO，②E(0,2)，③△ACO≌△BCD，④DO平分∠CDB.
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式x−2x+3的值为0，则x的值是______.
10.分解因式：a2−1= .
11.如图，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90∘，AC=DF，若要利用“HL”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件 (只填一种情况).
12.计算：(π−3)0+(−12)−1= .
13.若等腰三角形有一个内角为40∘，则它的顶角度数为 .
14.若P=(x+2)2，Q=(x+1)(x+3)，比较大小：P ______Q(用“>“或“m)，则乙队单独完成的时间是 .
16.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为a、b，a>b)拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，则a2+b2= .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：3x+2+1=xx−2.
四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：a2⋅a+(a2b)3−a5÷a2.
19.(本小题4分)
分解因式：ax2−6ax+9a.
20.(本小题5分)
化简：(a−2)(a+3)−(a−1)2.
21.(本小题6分)
如图，AD平分∠CAE，∠B=35∘，∠DAE=60∘，试求，∠D与∠ACD的度数．
22.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+3m−1m+1)÷mm2−1，其中m=32.
23.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−3,5)，B(−4,−1)，C(−1,1).
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A的坐标；
(2)在y轴上找一点M，使得△MAC是以AC为底边的等腰三角形，则点M的坐标是______.
24.(本小题6分)
如图，BE=DF，∠AEB=∠CFD=90∘，AF=CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：AB//CD.
25.(本小题7分)
如图，小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形．
(1)如图①，△ABC的面积为______；
(2)在图②中画出所有与△ABC全等，且只有一条公共边的格点三角形．
26.(本小题7分)
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.
如x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，
a2−2a+3a−1=(a−1)2+2a−1=(a−1)2a−1+2a−1=a−1+2a−1，
则x+1x−1和a2−2a+3a−1都是“和谐分式”.
(1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______(填序号)：
①x+1x②2+x2③x+2x+1.
(2)将“和谐分式”3x+7x+1和x2+5x−5x−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：3x+7x+1=______，x2+5x−5x−1=______.
(3)如果和谐分式x2x−1的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值.
27.(本小题7分)
已知，等腰Rt△ABC中，∠BAC是直角，点D是BC边上一动点(不与点B，C重合)，过点A作AE⊥AD，使得点E和点D落在AC两侧，且AE=AD，连接DE、CE，AC、DE交于点F.
(1)当点D是BC边中点时，则∠DCE的度数是______.
(2)若点D在BC边上移动到其它位置(不与点B，C重合)，∠DCE的度数是否变化？______(填“变”或“不变”)，并给以证明.
(3)若点D的位置满足AC=CD，依题意补全图，用等式表示线段CE、CF的数量关系，并证明.
28.(本小题5分)
对于点P和图形W，若点P关于图形W上任意的一点的对称点为点Q，所有点Q组成的图形为M，则称图形M为点P关于图形W的“对称图形”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,−2)，B(2,−2)，C(2,1)，D(−1,1).
(1)①在点E(−2,−4)，F(0,−4)，G(3,−3)中，是点0关于线段AB的“对称图形”上的点有______.
②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”；
(2)点T(t,0)是x轴上的一动点.
①若点T关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值范围；
②直线y=x−t与x轴交于点T，与y轴交于点H，线段TH上存在点K，使得点K是点T关于四边形ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：B.
2.【答案】A
【解析】解：0.0001=1×10−4.
故选：A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|.
把两个式子相减，即可判断．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】mnn−m
【解析】解：把总工程量看作整体1，设乙队单独需要x天完成，由题意可得：11n+1x=m，
解得：x=mnn−m.
设总工程量为1，乙队单独需要x天完成，由题意可得11n+1x=m，求x的值即可．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．本题的解题关键就是把工程总量当做整体1来求解．
16.【答案】76
【解析】解：∵大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8，
∴(a+b)2=144，(a−b)2=8，
∴a2+b2=(a+b)2+(a−b)22=144+82=76.
故答案为：76.
先根据正方形的面积公式可得(a+b)2=144，(a−b)2=8，进而求得a2+b2的值．
本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
17.【答案】解：原方程两边都乘(x+2)(x−2)，
去分母得：3(x−2)+(x+2)(x−2)=x(x+2)，
整理得：3x−10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，(x+2)(x−2)≠0，
故原方程的解为x=10.
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】a6b3.
【解析】解：原式=a3+a6b3−a3
=a6b3.
通过逐步简化表达式，最终得到结果．
本题考查指数运算规则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，掌握其相关知识点是解题的关键．
19.【答案】解：ax2−6ax+9a=a(x2−6x+9)=a(x−3)2.
【解析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
本题考查了因式分解，熟知因式分解的提公因式法，公式法是解题的关键．
20.【答案】3a−7.
【解析】解：(a−2)(a+3)−(a−1)2
=a2+3a−2a−6−(a2−2a+1)
=a2+a−6−a2+2a−1
=3a−7.
先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可．
本题考查了多项式乘以多项式以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
21.【答案】解：∵∠B=35∘，∠DAE=60∘，
∴∠D=∠DAE−∠B=25∘，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAE=2∠DAE=2×60∘=120∘，
∴∠BAC=180∘−∠CAE=180∘−120∘=60∘，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠B=60∘+35∘=95∘.
【解析】根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，再根据邻补角的定义求出∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
22.【答案】4m−4，2.
【解析】解：(1+3m−1m+1)÷mm2−1
=(1+3m−1m+1)÷mm2−1
=(m+1m+1+3m−1m+1)÷mm2−1
=4mm+1÷mm2−1
=4mm+1×m2−1m
=4mm+1×(m−1)(m+1)m
=4(m−1)
=4m−4，
当m=32时，原式 4×32−4=6−4=2.
先通分合并括号内的表达式，再利用因式分解和约分进行化简，最后代入数值计算．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
23.【答案】见解析，A(−3,5)；
(0,4).
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点A的坐标(−3,5)；
(2)如图，点M即为所求，M(0,4).
故答案为：(0,4).
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)线段AC的垂直平分线与y的交点即为点M.
本题考查作图-轴对称变换，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
24.【答案】∵AF=CE，AF−EF=AE，CE−EF=CF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
BE=DF∠AEB=∠CFDAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
由 得：△ABE≌△CDF，
∴∠A=∠C，
∴AB//CD
【解析】证明：(1)∵AF=CE，AF−EF=AE，CE−EF=CF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
BE=DF∠AEB=∠CFDAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴∠A=∠C，
∴AB//CD.
(1)先证明AF=CE，再根据AE=CF，即可证明△ABE≌△CDF；
(2)根据全等三角形的性质得出∠A=∠C，根据平行线的判定即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
25.【答案】(1)6.
(2)如图，△ABE，△ACF，△BCH即为所求．
【解析】解：(1)S△ABC=4×4−12×2×2−12×2×4−12×2×4=16−2−4−4=6，
故答案为6.
(2)如图，△ABE，△ACF，△BCH即为所求．
(1)利用分割法求解即可．
(2)有三种情形分别画出图形即可．
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26.【答案】①③；
3+4x+1，x+6+1x−1；
0或2
【解析】(1)①x+1x=xx+1x=1+1x，是和谐分式，
②2+x2=22+x2=1+x2，不是和谐分式，
③x+2x+1=x+1+1x+1=x+1x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式．
故答案为：①③．
(2)3x+7x+1=3(x+1)+4x+1=3(x+1)x+1+4x+1=3+4x+1，
x2+5x−5x−1=(x−1)2+7x−6x−1=(x−1)2+7(x−1)+1x−1=x+6+1x−1.
故答案为：3+4x+1，x+6+1x−1.
(3)x2x−1=x2−1+1x−1=(x−1)(x+1)+1x−1=x+1+1x−1，
∵x2x−1的值为整数，且x为整数，
∴x+1为整数，1x−1为整数，
设1x−1=k(k为整数)，
则x−1=1k，
∵x为整数，
∴1k为整数，
∴k=±1，
当k=1时，x−1=1，解得x=2，
当k=−1时，x−1=−1，解得x=0，
经检验，当x=0或x=2时，分母均不为零，符合题意．
∴符合条件的整数x的值为0或2.
(1)根据“和谐分式”的定义可判定求解；
(2)根据分式的性质，进行化简求解；
(3)将原式进行化简，根据题意可得x，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数x的值．
本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，掌握其相关知识点是解题的关键．
27.【答案】90∘；
不变，理由如下如图：
∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=45∘，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90∘.
如图所示：
∵∠ACB=45∘，AC=CD，
∴∠ADC=∠DAC=180∘−∠ACB2=67.5∘，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠FDC=∠ADC−∠ADE=67.5∘−45∘=22.5∘，
∴∠EFC=∠FDC+∠ACB=22.5∘+45∘=67.5∘，
∵∠ADC=67.5∘，
∴∠ADB=180∘−67.5∘=112.5∘，
∵△BAD≌△CAE(由 得)，
∴∠AEC=∠ADB=112.5∘，
∴∠CEF=∠AEC−∠AED=112.5∘−45∘=67.5∘，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE=CF
【解析】(1)∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=45∘，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
故答案为：90∘；
(2)不变，理由如下如图：
∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=45∘，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=45∘，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90∘.
(3)如图所示：
∵∠ACB=45∘，AC=CD，
∴∠ADC=∠DAC=180∘−∠ACB2=67.5∘，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90∘，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠FDC=∠ADC−∠ADE=67.5∘−45∘=22.5∘，
∴∠EFC=∠FDC+∠ACB=22.5∘+45∘=67.5∘，
∵∠ADC=67.5∘，
∴∠ADB=180∘−67.5∘=112.5∘，
∵△BAD≌△CAE(由(1)得)，
∴∠AEC=∠ADB=112.5∘，
∴∠CEF=∠AEC−∠AED=112.5∘−45∘=67.5∘，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE=CF.
(1)由等腰三角形性质得AB=AC，∠B=∠ACB=45∘，由AE⊥AD，AE=AD证△BAD≌△CAE得∠ACE=∠B=45∘，进而得∠DCE=90∘.
(2)同(1)的方法证△BAD≌△CAE得∠ACE=∠B=45∘，进而得∠DCE=90∘.
(3)由AC=AD，∠ACB=45∘得∠ADC=∠DAC=67.5∘，由AE⊥AD，AE=AD得∠ADE=45∘进而算出∠FDC=22.5∘，∠EFC=67.5∘，由△BAD≌△CAE得∠AEC=∠ADB=112.5∘算出∠CEF=67.5∘，从而得∠EFC=∠CEF证得CE=CF.
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解题关键是通过证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度和边的关系来推导结论．
28.【答案】(1)①点E，点F
②点O关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形JNMI.
(2)①动点T关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形SRVU，如图所示．利用中点坐标公式可得到点S(4−t,2)，U(−2−t,2)，V(−2−t,−4)，R(4−t,−4).四边形SRVU随t的变化左右移动，当四边形JNMI与四边形SRVU有公共点时，应满足：
4−t≥−2−2−t≤4，
∴−6≤t≤6，
②2≤t≤4或−2≤t≤−1.
【解析】解：(1)①根据点P关于图形W的“对称图形”的定义，点O关于线段AB的“对称图形”是，如图所示．点E(−2,−4)，F(0,−4)在线段JN上．
故答案为：点E，点F
②点O关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形JNMI.
(2)①动点T关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形SRVU，如图所示．利用中点坐标公式可得到点S(4−t,2)，U(−2−t,2)，V(−2−t,−4)，R(4−t,−4).四边形SRVU随t的变化左右移动，当四边形JNMI与四边形SRVU有公共点时，应满足：
4−t≥−2−2−t≤4，
∴−6≤t≤6，
②要使得点K是四边形SRVU上的点，需满足：
0≤4−t≤t或t≤−2−t≤0，
∴2≤t≤4或−2≤t≤−1.
根据点P关于图形W的“对称图形”的定义，可以在图形W上找几个特殊点(线段的端点)，
作出点P关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形M的形状．
(1)①作出点O关于点A、B的对称点J、N，得到点O关于线段AB的“对称图形”是一条线段；
②类似地，可以得到点O关于四边形ABCD的“对称图形”是一个正方形；
(2)①点T关于四边形ABCD的“对称图形”也是一个正方形，与O关于四边形ABCD的“对称图形”大小一样，只是随t的变化左右移动，可以用数形结合求解；
②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解．
这道题在新定义下考察点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问题，是一道很不错的综合题．