2025-2026学年内蒙古兴安盟科右前旗北京中学八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年内蒙古兴安盟科右前旗北京中学八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列四个图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，那么此三角形的周长是( )
A. 12cmB. 15cmC. 18cmD. 12cm或15cm
3.如图是一架婴儿车的示意图，其中AB//CD，∠1=110∘，∠3=40∘，那么∠2的度数为( )
A. 80∘
B. 90∘
C. 100∘
D. 70∘
4.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O′=∠O的依据是( )
A. SASB. SSSC. AASD. ASA
5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE=2，AB=6，则△AEB的面积为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
6.如图，CE是△ABC的角平分线，过点E作EF//BC，分别交AC及△ABC的外角∠ACD的平分线于点M，F.若CM=3，则EF的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
7.如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE.若AC=6，BC=4，则BD的长为( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
8.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=∠B=40∘，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC=∠BDA；②若AB=DC，则AD=DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=40∘.其中正确的有( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE=30米，则AB的长是 米.
10.如图，在△ABC中，∠ABC=50∘，外角∠ACD=110∘，若P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，则∠P的度数为 ∘.
11.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120∘，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，G.若BC=16，则GC= .
12.如图，AB=18m，CA⊥AB，DB⊥AB，且AC=6m，点P从点B向点A以1m/s的速度运动，点Q从点B向点D以2m/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动 s后，△CAP与△PQB全等.
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′.
(2)写出点的坐标(直接写答案)：C′______.
(3)△A′B′C′的面积为______(直接写答案).
(4)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标______.
14.(本小题10分)
如图，已知△ABC≌△ADE.
(1)求证：∠1=∠2.
(2)连接CE，若AC=2，∠ACE=60∘，求CE的长.
15.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，且AC=15cm，△BCD的周长等于25cm.
(1)求BC的长；
(2)若∠A=36∘，∠ABC=∠C，求∠DBC的度数.
16.(本小题10分)
小丽与小琳在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离BD=0.8m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为1m，已知∠BOC=90∘，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E.
(1)求证：△CEO≌△ODB；
(2)为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度OM设置是否合理？为什么？
17.(本小题12分)
已知，C为射线AD上一点，∠DAP=∠PBC，PA=PB.
(1)证明：CP平分∠DCB；
(2)若AP与BC交M，∠APB=2∠CPA，证明：BM=AC+CM.
18.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
(1)BP=______(用t的代数式表示)；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(3)当点Q在边BC上运动时，若△BCP的面积为S，请你写出用t来表示S的式子，并表示出t的取值范围；
(4)当点Q在边CA上运动时，出发______秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意，
故选：B.
根据轴对称图形的定义逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：当等腰三角形的另一边为6cm时，6−340∘，则可得到∠DAE=40∘或70∘，即可求出∠BAD的度数为60∘或30∘，故可得④不正确．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
9.【答案】30
【解析】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC=∠EDC=90∘，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDC=90∘BC=CD∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED=30米，
故答案为：30.
根据ASA证明△ABC≌△EDC，即可推出AB=DE=30米．
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
10.【答案】30
【解析】解：∵CP平分∠ACD，
∴∠DCP=12∠ACD=55∘，
∴∠BCP=180∘−55∘=125∘，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP=12∠ABC=25∘，
∴∠P=180∘−∠CBP−∠BCP=180∘−25∘−125∘=30∘.
故答案为：30.
先根据角平分线定义得出∠DCP=12∠ACD=55∘，求出∠BCP=180∘−55∘=125∘，再根据角平分线定义求出∠CBP=12∠ABC=25∘，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为180∘是解题的关键．
11.【答案】163
【解析】解：连接 AG，
∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=30∘，
由作图可知，DE是AC的垂直平分线，
∴GA=GC，
∴∠GAC=∠C=30∘，
∴∠AGB=∠GAC+∠C=60∘，
∴∠BAG=180∘−∠B−∠AGB=90∘，
∴AG=12BG，
∴GC=12BG，
∵BG+GC=BC，BC=16，
∴BG+12BG=16，
解得 BG=323，
∴GC=12BG=163，
故答案为：163.
先根据等腰三角形性质求出底角，再由作图得出线段垂直平分线，连接相关线段，利用角度关系和直角三角形性质求解．
本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含30∘角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90∘，
设运动x秒钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=(18−x)m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=6，
∴AP=18−6=12，BQ=12，
∴AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ(SAS)；
②若BP=AP，则18−x=x，
解得x=9，
∴BQ=2x=18≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动6秒钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：6.
设运动x秒钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=(18−x)m，分两种情况：①若BP=AC，则x=6，此时AP=BQ，△CAP≌△PBQ(SAS)；②若BP=AP，则18−x=x，得出x=9，BQ=2x=18≠AC，即可得出结果．
本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
13.【答案】(1)如图，△A′B′C′即为所求； (−3,4) 3.5 (2,0)
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)C′(−3,4).
故答案为：(−3,4)；
(3)△A′B′C′的面积=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5.
故答案为：3.5；
(4)如图，点P即为所求，P(2,0).
故答案为：(2,0).
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)根据点的位置写出坐标；
(3)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(4)作点A关于x轴的对称点A′′，连接BA′′交x轴于点P，连接BP，点P即为所求．
本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
14.【答案】(1)∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠EAC=∠DAE−∠EAC，
∴∠1=∠2 (2)如图，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∵∠ACE=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=2
【解析】(1)证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠EAC=∠DAE−∠EAC，
∴∠1=∠2；
(2)解：如图，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∵∠ACE=60∘，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=2.
(1)根据全等三角形的性质及等式的性质求证即可；
(2)根据全等三角形的性质求出AC=AE，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的性质定理、等边三角形的判定与性质定理是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长等于25cm，
∴BC+BD+CD=25cm，
∴BC+AD+CD=25cm，即BC+AC=25cm，
又∵AC=15cm，
∴BC=10cm；
(2)∵∠A=36∘，∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠C=180∘−∠A2=72∘，
∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=36∘，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBA=36∘.
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据三角形周长公式推出BC+AC=25cm，再由AC=15cm，可得BC=10cm；
(2)先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ABC=72∘，∠DBA=36∘，则∠DBC=∠ABC−∠DBA=36∘.
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
16.【答案】(1)根据题意得CO=OB，
∵BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E，
∴∠CEO=∠ODB=90∘(垂直的定义)，
∵∠BOC=90∘，∠BOD=∠OBD，
∴∠COE=90∘−∠BOD=∠OBD=45∘，
在△CEO和△ODB中，
∠CEO=∠ODB∠COE=∠OBDCO=OB，
∴△CEO≌△ODB(AAS) (2)合理，
∵点B到OA距离为0.8m，BD⊥OA于点D，BD=0.8m，
由(1)得△CEO≌△ODB，
∴OE=BD=0.8m(全等三角形对应边相等)，
∵EM=1m，
∴OM=OE+EM=0.8+1=1.8m，
∵1.8m