2025-2026学年北京171中朝阳豆各庄分校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京171中朝阳豆各庄分校八年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. 蝴蝶曲线B. 笛卡尔心形线
C. 科赫曲线D. 费马螺线
2.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 1，2，4C. 2，3，4D. 2，2，4
3.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为( )
A. 75∘B. 60∘C. 105∘D. 120∘
4.在平面直角坐标系中，点(−3,−2)关于x轴对称的点是( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (3,2)D. (−2,−3)
5.如图，AB//CD，∠A=45∘，∠C=30∘，则∠E的度数是( )
A. 10∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 25∘
6.如图，在△AEB和△ADC中，AD=AE，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是( )
A. ∠B=∠C
B. AC=AB
C. ∠ADC=∠AEB
D. BE=CD
7.如图，△ABC≌△DEC，∠DCE=80∘，∠ACE=30∘，点E在边AB上，则∠CEB的度数为( )
A. 50∘
B. 55∘
C. 65∘
D. 75∘
8.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数( )
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180∘；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知如图，AB=AD，请你添加一个适当的条件______，使△ABC≌△ADC.(只添一个)
10.如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=120∘，∠ECA=135∘，那么∠A的度数是 .
11.如图，已知点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，则四边形ADEF的面积为______.
12.在△ABC中，∠C=90∘，∠A−∠B=30∘，则∠A=______.
13.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为______.
14.在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,3)，点B(−1,0)，点D(2,3)，点C在x轴上.若CD=AB，则点C的坐标为 .
15.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 .
16.如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC=16，则BF的长为 .
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，∠A=51∘，∠B=20∘，∠C=30∘，求∠BDC的度数.
分析：连接AD并延长至点E，
要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，
解：∵∠BDE=∠B+______，
∠CDE=∠C+______，
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠B+______+∠C+______.
∵∠BAC=51∘，∠B=20∘，∠C=30∘，
∴∠BDC=______.
18.(本小题5分)
如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：∠B=∠D.
19.(本小题5分)
小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ABC中，∠ACB=90∘.
求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；
②作直线CD.
所以直线CD就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(______)(填推理的依据)
∴∠______=∠______.
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−∠DCB，
∠A=90∘−∠______.
∴∠ACD=∠A.
∴DC=DA.(______)(填推理的依据)
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
20.(本小题5分)
如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE.求证：AB=CD.
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示.
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′，B′，C′分别是A、B、C的对应点，不写画法)；
(2)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的Q点有______个.
22.(本小题5分)
求证：等腰三角形两腰上的中线相等．(要求根据给出的图形写出已知、求证和证明过程．)
23.(本小题5分)
如图，AD//BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC=AB.
24.(本小题5分)
如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B.求∠AEC的度数．
25.(本小题5分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB=EC.
(1)如果∠BCE=20∘，则∠AEB的度数为______ ∘；
(2)探究BC与AB的数量关系，并说明理由.
26.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点(不与点B，C重合)，将DA沿直线BC翻折得到DE，将BD平移得到EF(点B与点E为对应点)，连接DF.
(1)求证：△ADB≌△DEF；
(2)连接CF，若在点D的运动过程中，始终有AD=CF，写出△ABC需要满足的条件，并证明.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+25，能组成三角形，故C选项正确；
D、2+2=4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C.
根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠BAC=180∘−45∘−60∘=75∘，
故选：A.
根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180∘是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：点(−3,−2)关于x轴对称的点的坐标为(−3,2).
故选：A.
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，∠A=45∘，
∴∠DOE=∠A=45∘，
∵∠DOE是△COE的外角，
∴∠E=∠DOE−∠C=45∘−30∘=15∘.
故选：B.
由平行线的性质可求得∠DOE=∠A=45∘，再利用三角形的外角性质即可求∠E的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】D
【解析】解：A选项对应角角边，可以判定全等；
B选项对应边角边，可以判定全等；
C选项对应角边角，可以判定全等；
D选项只能是边边角，无法判定全等；
故选：D.
根据三角形全等判定定理解题即可．
本题考查三角形全等的判定定理，能够熟练运用判定定理是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠CED=∠B，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∵∠DCE=80∘，∠ACE=30∘，
∴∠DCA=∠ECB=80∘−30∘=50∘，
∴∠CEB=∠B=180∘−50∘2=65∘，
故选：C.
根据全等三角形的性质得出∠CED=∠B，进而解答即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出∠CED=∠B解答．
8.【答案】D
【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘，
∴∠ABC+∠MPN=180∘，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PM=PDPA=PA，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180∘，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故选：D.
过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】BC=CD或∠CAB=∠DAC
【解析】解：由SSS判定△ABC≌△ADC，可以添加BC=CD.
由SAS判定△ABC≌△ADC，可以添加∠CAB=∠DAC，
故答案为：BC=CD或∠CAB=∠DAC.
由三角形全等的判定方法判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
10.【答案】75∘
【解析】解：∵∠DBA=120∘，∠ECA=135∘，
∴∠ABC=180∘−120∘=60∘，∠ACB=180∘−135∘=45∘，
∴∠A=180∘−60∘−45∘=75∘，
故答案为：75∘.
先求出∠ABC，∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求解．
本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为180∘.
11.【答案】12
【解析】解：∵点D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，
∴S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，
∴S△ADF=12S△ABD=12×12S△ABC=14×32=8，
S△DEF=12S△BDE=12×12S△BCD=14×12S△ABC=18×32=4，
∴S四边形ADEF=S△ADF+S△DEF=8+4=12.
故答案为：12.
由三角形的中线得S△ABD=S△CBD，S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF，再求出S△ADF=8，S△DEF=4，即可得出答案．
本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
12.【答案】60∘
【解析】解：在△ABC中，∠C=90∘，
则∠A+∠B=90∘，
由题意得∠A+∠B=90∘∠A−∠B=30∘，
解得：∠A=60∘，∠B=30∘，
故答案为：60∘.
根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，
∴MB=MO，NC=NO，
∴MN=MO+NO=MB+NC，
∵AB=4，AC=6，
∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10，
故答案为：10
利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．
此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14.【答案】(1,0)或(3,0)
【解析】解：∵点A(−2,3)，点B(−1,0)，
∴点B关于直线x=−2的对称点为E(−3,0).
连接AE，则AB=AE.
∵点A(−2,3)，点D(2,3)，
∴点A、D关于y轴对称，
∴点B、点E关于y轴的对称点为(1,0)和(3,0)，
∴若点C为(1,0)或(3,0)时，AB=CD，
∴若CD=AB，则点C的坐标为(1,0)或(3,0).
故答案为：(1,0)或(3,0).
根据轴对称的性质即可求解．
本题考查了坐标与图形性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
15.【答案】60∘
【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60∘，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90∘，
∴∠EBC=30∘，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30∘，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60∘.
故答案为60∘.
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30∘，
即可解决问题；
本题考查的是最短路线问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60∘，AC=AB=BC=16，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90∘−∠C=30∘，
∴CE=12CD，
∵CD=12BC，
∴CE=14BC=14AC，
∴AE=34AC，
∵EF⊥AB于点F，
∴∠AEF=90∘−∠EAF=30∘，
∴AF=12AE=38AC=38AB，
∴BF=58AB=58×16=10.
故答案为：10.
由等边三角形的性质推出∠C=∠BAC=60∘，AC=AB=BC=16，由含30∘角的直角三角形的性质推出BF=58AB，而AB=BC=16，即可求出BF的长．
本题考查等边三角形的性质，含30∘角的直角三角形，关键是由含30∘角的直角三角形推出BF=58AB.
17.【答案】∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101∘.
【解析】解：∵∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD，
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD.
∵∠BAC=51∘，∠B=20∘，∠C=30∘，
∴∠BDC=101∘.
故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101∘.
利用三角形的外角性质，可得出∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，结合∠BDC=∠BDE+∠CDE，即可求出∠BDC的度数．
本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴∠B=∠D.
【解析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结论．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．
19.【答案】解：(1)补全的图形如下：
(2)垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等； DCB； DBC ； DBC ；等角对等边
【解析】解：(1)见答案
(2)证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB.(垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)
∴∠DCB=∠DBC.
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−∠DCB，
∠A=90∘−∠DBC.
∴∠ACD=∠A.
∴DC=DA.(等角对等边)(填推理的依据)
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．
【分析】
(1)根据题意即可作图；
(2)根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质即可完成证明．
本题考查了作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．
20.【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90∘，
∴∠ACB+∠ECD=90∘，∠ECD+∠CED=90∘，
∴∠ACB=∠CED.
在△ABC和△CDE中，
∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，
∴△ABC≌△CDE(ASA)，
∴AB=CD.
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
证明△ABC≌△CDE(ASA)，可得出结论．
21.【答案】见解析；
10.
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图：以B为圆心，BC长为半径作圆，此圆与坐标轴有4个交点，
以C为圆心，BC长为半径作圆，此圆与坐标轴有4个交点，
作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，
∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10个，
故答案为：10.
(1)由点的对称性，作出图形即可；
(2)利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．
22.【答案】解：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线．
求证：BE=CD.
证明：∵在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线，
∴AD=AE，
在△ADC和△AEB中，
AD=AE∠A=∠AAC=AB，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴CD=BE，
即等腰三角形两腰上的中线相等．
【解析】根据题目中的条件和SAS的判定方法，可以证明△ADC≌△AEB，然后即可得到BE=CD.
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED=CE，
在△ADE与△FCE中，
∠DAE=∠CFE∠AED=∠FECED=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD=CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠F，
∴∠BAF=∠F，
∴AB=BF，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD.
【解析】延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ADE≌△FCE.
24.【答案】解：连接DE
∵A，B分别为CD，CE的中点，
AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，
∴CD=CE=DE，
∴△CDE为等边三角形．
∴∠C=60∘.
∴∠AEC=90∘−∠C=30∘.
【解析】根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠AEC的度数．
此题主要考查了等边三角形的判定，正确得出△CDE为等边三角形是解题关键．
25.【答案】70；
BC=2AB；理由见解答过程．
【解析】解：(1)∵∠BCE=20∘，EB=EC，
∴∠BCE=∠EBC=20∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABD=20∘，
∵EA⊥AB，
∴∠BAE=90∘，
∴∠AEB=180∘−∠BAE−∠ABD=180∘−90∘−20∘=70∘，
故答案为：70；
(2)BC=2AB；理由如下：
过点E作EF⊥BC于点F，如图，
∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，
∴EA=EF，
在Rt△ABE和Rt△FBE中，
EA=EFEB=EB，
∴Rt△ABE≌Rt△FBE(HL)，
∴AB=FB，
∵EB=EC，EF⊥BC，
∴BC=2FB，
∴BC=2AB.
(1)首先推导出∠BCE=∠EBC=20∘，利用BD平分∠ABC得到∠EBC=∠ABD=20∘，进而利用∠AEB=180∘−∠BAE−∠ABD解答即可；
(2)作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2FB，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADB=∠EDB，AD=DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD=EF，BD//EF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠ADB=∠DEF，
在△ADB与△DEF中，
AD=DE∠ADB=∠DEFBD=EF，
∴△ADB≌△DEF(SAS)；
(2)AB=AC，
证明：如图，
∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADC=∠EDC，AD=DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD//EF，
∵AD=CF，
∴ED=FC，
∴四边形CDEF是等腰梯形，
∴∠EDC=∠FCD，
∴∠FDC=∠ADC，
∴AD//CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴DF=AC，
由(1)知：△ADB≌△DEF，
∴DF=AB，
∴AB=AC.
【解析】(1)利用SAS可证明出结论；
(2)画出图形，证明出四边形ADFC是平行四边形即可得到DF=AC，结合(1)的结论△ADB≌△DEF，得到DF=AB，从而得出AB=AC.
本题考查全等三角形的判断和性质，等腰梯形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．