2026届四川省成都七中学实验学校数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

这是一份2026届四川省成都七中学实验学校数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列各式与是同类二次根式的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时，函数y有最大值，设（x1，y1），（x2，y2）是这个函数图象上的两点，且1＜x1＜x2，那么（ ）
A．a＞0，y1＞y2 B．a＞0，y1＜y2 C．a＜0，y1＞y2 D．a＜0，y1＜y2
2．如图的的网格图，A、B、C、D、O都在格点上，点O是（ ）
A．的外心B．的外心C．的内心D．的内心
3．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6（1+x）＝8.5 B．6（1+2x）＝8.5
C．6（1+x）2＝8.5 D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.5
4．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，则csA的值为( )
A．B．C．D．
6．点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线y=x2+2x-2最低点坐标是（ ）
A．（2，-2）B．（1，-2）C．（1，-3）D．（-1，-3）
8．下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A．B．
C．D．
10．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．以下、、、四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．随的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，，则
二、填空题（每题4分，共24分）
13．用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为_____．
14．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．
15．如图，圆锥的底面半径r为4，沿着一条母线l剪开后所得扇形的圆心角ɵ=90°，则该圆锥的母线长是_________________.
16．点关于原点对称的点为_____．
17．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x，则关于x的方程是________ ．
18．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ▲ ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）有甲、乙、丙三个不透明的布袋，甲袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母A和B；乙袋中装有3个相同的小球，它们分别标有字母C、D和E；丙袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母H和I．从三个布袋中各随机取出一个小球．求：（1）取出的3个小球恰好有2个元音字母的概率；（2）取出的3个小球全是辅音字母的概率．
20．（8分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．
某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：
小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；
小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；
小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．
……
老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=AE，连接DF并延长交BC于点G，求的值”．
（1）求证：∠ACB=∠ABE；
（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；
（3）若DF=CF=AE，求的值（用含k的代数式表示）．
21．（8分）如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴的正半轴上时，直接写出点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
22．（10分）作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠BAC＝70°，请画出要求的角，并标注．
（1）画一个140°的圆心角；（2）画一个110°的圆周角；（3）画一个20°的圆周角．
23．（10分）已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．
24．（10分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
25．（12分） “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出50辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出5辆，求该型号自行车降价多少元时，每月可获利30000元？
26．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，⊙经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，点在⊙上，且，求⊙的半径.
图1 图2
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图2，连接
,
是⊙的直径. （依据是 ）
且
（依据是 ）
．即⊙的半径为 ．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】由当x=2时，函数y有最大值，根据抛物线的性质得a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以由2＜x2＜x2得到y2＞y2．
【详解】∵当x=2时，函数y有最大值，∴a＜0，抛物线的对称轴为直线x=2．
∵2＜x2＜x2，∴y2＞y2．
故选C．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
2、B
【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.
【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，
∴OA==，
OB==，
OC==，
OD==，
∵OA=OB=OC=，
∴O为△ABC的外心，
故选B.
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.
3、C
【解析】由题意可得9月份的快递总件数为6(1+x)万件，则10月份的快递总件数为6(1+x)(1+x)万件.
【详解】解：由题意可得6(1+x)2=8.5，故选择C.
理解后一个月的快递数量是以前一个月的快递数量为基础的是解题关键.
4、A
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，
故选A．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
5、B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
；
故选：B.
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
6、B
【解析】把点M代入反比例函数中，即可解得K的值.
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得k=3.
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.
7、D
【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．
【详解】∵，且，
∴最低点（顶点）坐标是．
故选：D．
此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题．
8、A
【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：（A）原式＝2，故A与是同类二次根式；
（B）原式＝2，故B与不是同类二次根式；
（C）原式＝3，故C与不是同类二次根式；
（D）原式＝5，故D与不是同类二次根式；
故选：A．
此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
9、C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．
【详解】解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，
对于A选项，如下图所示

∵，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于B选项，如下图所示

∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴，但∠A≠∠E
∴与△EFD不相似，故本选项不符合题意；
对于C选项，如下图所示
∵，∠A=∠E=30°
∴∽△EFD，故本选项符合题意；
对于D选项，如下图所示
∵，但∠A≠∠D
∴与△DEF不相似，故本选项不符合题意；
故选C．
此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键．
10、A
【分析】根据概率公式解答即可.
【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：．
故选A.
本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
11、B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，所给图形的边分别为，，，
所以三边之比为
A、三角形的三边分别为、、，三边之比为::，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
12、D
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A.反比例函数的图象位于第二象限，∴k﹤0故A错误；
B. 在第二象限内随的增大而增大，故B错误；
C. 矩形面积为2，∵k﹤0,∴k=-2，故C错误；
D.∵图象上两个点的坐标分别是，，在第二象限内随的增大而增大，∴，故D正确，
故选D．
本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、12
【解析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式进行求解即可.
【详解】设这个圆锥的母线长为，
依题意，有：，
解得：，
故答案为：12.
本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.
14、y=﹣2x2(答案不唯一)
【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．
【详解】解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．
故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15、1
【分析】由题意首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得扇形的半径，即圆锥的母线l．
【详解】解：扇形的弧长=4×2π=8π，
可得=8π
解得：l=1．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
16、
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案.
【详解】∵平面直角坐标系中，关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，
∴点关于原点对称点的坐标为．
故答案是：.
本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，掌握关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.
17、10（1﹣x）2=48.1．
【解析】试题分析：本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.1即可列出方程．
解：第一次降价后每盒价格为10（1﹣x），
则第二次降价后每盒价格为10（1﹣x）（1﹣x）=10（1﹣x）2=48.1，
即10（1﹣x）2=48.1．
故答案为10（1﹣x）2=48.1．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
18、．
【解析】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=2．
∵点P（2a，a）在直线AB上，∴2a=2，解得a=3．∴P（2，3）．
∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=2×3=2．
∴此反比例函数的解析式为：．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图作答即可；
（2）根据树状图作答即可．
【详解】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有2个元音字母的为4种情况，
∴P（恰好有2个元音字母）；
（2）∵取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，
∴取出的3个小球上全是辅音字母的概率是：．
本题考查了概率统计的问题，掌握树状图的性质以及画法是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）CB=2AB；（3）
【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；
（2）在BE边上取点H，使BH=AE，可证明△ABH≌△DAE，△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质从而得出结论；
（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K，得出，通过证明△ADK∽△DBC得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ，设AD=a，因此有DF=FC=QF=ka，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka，，，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC
∠BAD=∠BAE+∠EAD
∠BEC=∠ABE+BAE
∴∠EAD=∠ABE
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠ACB
∴∠ACB=∠ABE
（2）在BE边上取点H，使BH=AE
∵AB=AD
∴△ABH≌△DAE
∴∠AHB=∠AED
∵∠AHB+∠AHE=180°
∠AED+∠DEC=180°
∴∠AHE=∠DEC
∵∠BEC=2∠DEC
∠BEC=∠HAE+∠AHE
∴∠AHE=∠HAE
∴AE=EH
∴BE=2AE
∵∠ABE=∠ACB
∠BAE=∠CAB
∴△ABE∽△ACB
∴
∴CB=2AB；
（3）连接BD交AC于点Q，过点A作AK⊥BD于点K
∵AD=AB
∴
∠AKD=90°
∵
∴
∵AD∥BC
∴∠ADK=∠DBC
∴△ADK∽△DBC
∴∠BDC=∠AKD=90°
∵DF=FC
∴∠FDC=∠DFC
∵∠BDC=90°
∴∠FDC+∠QDF=90°
∠DQF+∠DCF=90°
∴DF=FQ
设AD=a
∴DF=FC=QF=ka
∵AD∥BC
∴∠DAQ=∠QCB
∠ADQ=∠QBC
∴△AQD∽△CQB
∴
∴AQ=ka=QF=CF
∴AC=3ka
∵△ABE∽△ACB
∴
∴
同理△AFD∽△CFG
∴
．
本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．
21、（1）点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=﹣1，点C的坐标为（1，﹣1）或（1，1﹣）；（2）见解析；（3）S==﹣x，其中﹣1≤x≤1.
【分析】（1）A点坐标为（1，0），根据AB=AC，分两种情形求出C点坐标；
（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系；
（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式；
【详解】（1）点A的坐标为（1，0）时，，点C的坐标为或；
（2）如图1中，结论：直线BC与⊙O相切．理由如下：
过点O作OM⊥BC于点M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直线BC与⊙O相切；
（3）过点A作AE⊥OB于点E．
在Rt△OAE中，AE2=OA2﹣OE2=1﹣x2，
在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2，
∴ 其中﹣1≤x≤1.
属于圆的综合题，考查直线和圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，注意数形结合思想在解题中的应用.
22、 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【分析】（1）根据∠BAC＝70°，画一个140°的圆心角，与∠BAC同弧即可；
（2）在劣弧BC上任意取一点P画一个∠BPC即可得110°的圆周角；
（3）过点C画一条直径CD，连接AD即可画一个20°的圆周角．
【详解】（1）如图1所示：∠BOC=2∠BAC＝140°
∴∠BOC即为140°的圆心角；
（2）如图2所示：∠BPC=180°-∠BAC=110°，
∴∠BPC即为110°的圆周角；
（3）连接CO并延长交圆于点D，连接AD，
∵∠DAC=90°，∴∠BAD=90°-∠BAC=20°
∴则∠BAD即为20°的圆周角．
此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.
23、y＝1（x﹣1）1+1．
【分析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）1+1，
把（3，10）代入得a（3﹣1）1+1＝10，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝1（x﹣1）1+1．
本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．
24、（1）；（2）；（3）x=1．
【分析】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
【详解】解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P（抽到的都是合格品）==；
（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴ =0.95，
解得：x=1．
本题考查利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．
25、（1）该型号自行车的进价为1000元，标价为1元；（2）该型号自行车降价100元或2元时，每月可获利30000元．
【分析】（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，根据利润＝售价﹣进价结合按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆，根据总利润＝每辆的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，
依题意，得：8×[0.9×（1+50%）x﹣x]＝7×[（1+50%）x﹣100﹣x]，
解得：x＝1000，
∴（1+50%）x＝1．
答：该型号自行车的进价为1000元，标价为1元．
（2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆，
依题意，得：（1﹣1000﹣y）（50+y）＝30000，
整理，得：y2﹣300y+200＝0，
解得：y1＝100，y2＝2．
答：该型号自行车降价100元或2元时，每月可获利30000元．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26、的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等，
【分析】连接BC，则BC为直径，根据圆周角定理，得到，再由30°所对直角边等于斜边的一半，即可得到答案.
【详解】解：如图1，连接，
，
是⊙的直径.（90°的圆周角所对的弦是直径）
且，
，（同弧所对的圆周角相等）
，
，
．
即⊙的半径为1．
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等；.
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题.