广东省四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知过坐标原点的直线 经过点 ，直线 的倾斜角是直线 的 2 倍，则直线 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知两条直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，在四面体 中， 是 的中点， ，设 ，则 （
）
A. B. C. D.
4. 已知 ， (其中 ， ， 是两两垂直 单位向量)，则 与 的数量积等
于（ ）
A. B. C. D.
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5. 已知圆台的上底面圆 的半径为 1，下底面圆 的半径为 2，点 ， 分别在上、下底面圆周上，且
，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线 关于 轴对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知正方体 的棱长为 2， 、 分别为线段 、 的中点，若点 为正
方体表面上一动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 已知圆 ，直线 ，圆上恰有三个点到直线 的距离都等于 1，则 的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若空间向量 ，则 在 上的投影向量为
B. 若空间向量 满足 ，则 与 夹角为锐角
C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则
10. 下列说法正确的是（ ）
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A. 若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为
B. 方程 表示过点 的所有直线
C. 的最小值为
D. 已知直线 过定点 且与以 、 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取
值范围是
11. 如图，平行六面体 的体积为 ， ， ， ，
且 ，M，N，P 分别为 的中点，则（ ）
A. 与 夹角的余弦值为
B. 平面
C
D. P 到平面 的距离为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的斜截式方程为__________．
13. 已知四棱锥 的底面为正方形， 平面 ， ，点 是 的中点，则
点 到直线 的距离是__________．
14. 已 知 与 相 交 于 点 线 段 是 圆
的一条动弦，且 则 的范围为_____
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间内三点 ， ， .
（1）求 的余弦值；
（2）求以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 S.
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
. 为 的中点，点 在 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与面 所成角 正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 、 、 、 四点共面，如果存在求出 的值；如果不存在
说明理由.
17. 已知圆 的半径为 3，圆心 在直线 上，点 .
（1）若圆心 在 轴上，过点 A 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若在圆 上存在点 ，满足 （ 为坐标原点），求圆心 横坐标的取值范围.
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直．
活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记
．
（1）求证： 平面 ；
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（2）当 的长度最小时，求二面角 的余弦值．
19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之
比值为常数 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点 到 的距离是点
到 的距离的 2 倍.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作直线 ，交轨迹 于 ， 两点， ， 不在 轴上.
（i）过点 作与直线 垂直的直线 ，交轨迹 于 ， 两点，记四边形 的面积为 ，求 的最大
值；
（ii）设轨迹 与 轴正半轴 交点为 ，直线 ， 相交于点 ，试证明点 在定直线上，求出该
直线方程.
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