初中数学沪科版（2024）九年级下册三角形的内切圆集体备课课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级下册三角形的内切圆集体备课课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了情境引入，观察与思考，知识要点，则☉O即为所作，三角形内心的性质，在△IBC中，典例精析，解得x4，类比归纳，内切圆半径等内容，欢迎下载使用。
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形内切圆的相关概念
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
最大的圆与三角形三边都相切
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
☉I 是 △ABC 的内切圆，点 I 是 △ABC 的内心，△ABC 是 ☉I 的外切三角形.
问题1 如图，若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心 O 的位置有什么特点？
圆心 O 在∠ABC 的平分线上.
三角形内切圆的作法及内心的性质
问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？
圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处.
AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线
线段 OD，OE，OF 的长度相等，都是三角形内切圆的半径
作法：1. 作∠ABC，∠ACB 的平分线 BE， CF，设它们交于点 O；2. 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D；3. 以点 O 为圆心、OD 为半径作☉O.
问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？
三角形的内心在三角形的三条角平分线的交点处.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
例1 如图，△ABC 中，∠ABC = 43°，∠ACB = 61°，点 I 是 △ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
∵点 I 是 △ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线.
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径.
该问题可以抽象为如下所示的几何图形.
解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD.
∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆，
∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线.
∴ ∠OAB =∠OBA = 30°.
∵ OD⊥AB，AB = 3 cm，
∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm).
∴ OD = AD·tan30° = (cm).
答：圆柱底面圆的半径为 cm.
例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm).
由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC2.不一定在三角形内部
三角形三条角平分线的交点
1.到三边距离相等2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.在三角形内部
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm.
变式：求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比.
sin∠OBD = sin30°=
2. 设△ABC 的面积为 S，周长为 L，△ABC 内切圆的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？
解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
则 AD = AC - DC = b - r，
BE = BC - CE = a - r.
∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB，
∴ a - r + b - r = c，
（3）若∠BIC = 100°，则∠A = °.
（2）若∠A = 80°，则∠BIC = °.
1. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心． （1）若∠ABC = 50°， ∠ACB = 70°，∠BIC =_____°.
（4）试探索： ∠A 与∠ BIC 之间存在怎样的数量关系？
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是____步．
1．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你画出 一个圆，使其与△ABC的各边都相切．
【解】如图所示，⊙P即为所求作的圆.
2. 下列说法错误的是(　　)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形，但一个三角形只有一个内切圆.
【点拨】∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心，即点O是角平分线的交点．故选D.
4．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(　　)A．76°B．68°C．52°D．38°
【点拨】连接ID，IF.∵⊙I是△ABC的内切圆，D，F为⊙I的切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC.∴∠IDA＝∠IFA＝90°.又∵⊙I中，∠DIF ＝2∠DEF＝104°，∴∠A＝360°－90°－90°－∠DIF＝76°.故选A.
5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，求该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径”，则该圆的直径为(　　)A．6步 B．5步 C．4步 D．3步
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.