安徽省阜阳市太和县初三九年级期中考试九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省阜阳市太和县初三九年级期中考试九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共22页。
1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）
1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线
C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据抛物线顶点式（，a，h，k）的对称轴性质来即可求解．
【详解】解：在抛物线中，，，
∴对称轴为直线．
故选：A．
3. 下列说法正确的有（ ）
A. 经过圆心的线段是直径B. 直径是同一个圆中最长的弦
C. 长度相等的两条弧是等弧D. 弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练一元二次方程的解得定义是解题的关键；
根据是方程的一个根，代入方程即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
将代入得
解得．
故选：B．
5. 如图，点A，，在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理可得，然后再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选C．
6. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 4C. 0D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
7. 将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转得到关于原点对称．
根据抛物线绕原点O旋转得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线绕原点O旋转，
∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，
∴旋转后的抛物线：，
即．
故选：C．
8. 如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理．连接、，交于，根据圆的性质可知：米，，根据垂径定理可知：(米)，，利用勾股定理求出的长度，再用圆的半径减去的长度即为点到弦所在直线的距离．
【详解】解：如下图所示，连接、，交于，
根据圆的性质可知：米，，
(米)，，
(米)，
(米)，
点到弦所在直线的距离是米，
故选：A．
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意；
B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意；
C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意；
D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意；
故选：B．
10. 如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（ ）
A. 可以由绕点逆时针旋转得到
B. 点与的距离为5
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由旋转性质以及等边三角形的性质证明，即可得出A选项是正确的；由旋转，得是等边三角形，则，故点与的距离为4，则选项B错误；结合全等三角形的性质以及，故是直角三角形，则，故选项C正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为，证明是等边三角形，再得出是直角三角形．接着得，运用勾股定理算出，结合三角形的面积公式列式计算，即可作答．
【详解】解：如图1，连接，过点作，垂足为．
由旋转，得，．
是等边三角形，
，，
，
，
，
可以由绕点逆时针旋转得到，故选项A正确；
由旋转，得，，
是等边三角形，
，
点与的距离为4，故选项B错误；
是等边三角形，
．
，
，
，
是直角三角形，，
，
故选项C正确；
将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为，
则，，，
是等边三角形，
，．
，
，
直角三角形．
在中，，
．
由勾股定理得，，
故选项D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【详解】解：∵点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是关键．
12. 一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球经过____________秒落到地面．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数的自变量，令，解出t即可作答．
【详解】解：当小球落到地面时，，
∴，
解得：，或（舍去），
故答案为：2．
13. 设，是一元二次方程的两个根，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点．
（1）的度数为______；
（2）若，，则的长是______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查的是圆的综合题，三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，三角函数的应用，解题的关键是添加适当辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求解，
（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接，过点作于点，作于点，根据圆周角定理可得，根据三角函数和勾股定理可得，，即可求的长．
【详解】解：（1）是的外接圆，，
；
（2）如图，连接，过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，
，，
，
在中，，
，
故答案为：；．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【详解】将方程左边分解因式得：
，
，
所以或，
所以.
【点睛】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
16. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将向左平移5个单位得到，画出；
（2）将绕点顺时针旋转得到，画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平衡规律得到点，再连接即可得到；
（2）由旋转的性质得到点，再连接即可得到．
【小问1详解】
如图，即为所画：
【小问2详解】
如图，即为所画：
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：一个人每节课手把手教会了6名同学．
18. 如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：
（1）______；
（2）猜想：______．
（3）连接，求的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题；
（2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题；
（3）同（2）先算出，进而得到，根据面积的面积的面积列式求解，即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，，，，
，
，
结合旋转的性质，以及，，，
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长，
，
；
故答案为：．
【小问3详解】
解：，
，
，
的面积的面积的面积
．
【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，旋转的性质，图形的规律，解题的关键在于结合旋转的性质得到图形的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，证明是解本题的关键．
（1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质可证；
（2）先根据勾股定理得到，再利用中位线的性质得到，最后利用即可得解；
【小问1详解】
证明：，
．
，
，
，
平分．
【小问2详解】
是直径，
．
在中，由勾股定理得
．
，，
，
即，
．
，
为的中位线，
．
，
，
．
20. 如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
（1）求的大小（用含的式子表示）．
（2）求证，．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
（1）利用旋转的性质得到，表示出，再利用等腰三角形的性质，可得答案；
（2）连接，证明，即得到，即可证明，
熟练掌握等腰三角形性质进行角度转换，想到证明，即证明为等腰直角三角形，从而作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴．，
由题意得，：
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴
是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理可得．
六、（本题满分12分）
21. 阅读理解：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图1，在上截取，连接，，，．
是的中点，．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图2，已知等腰三角形内接于，，，点为上一点，，于点，求的周长．
【答案】（1）见解析；
（2）的周长为．
【解析】
【分析】本题主要考查了圆综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
（1）如图1，在上截取，连接，，，，首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）如图2所示在上截取，首先通过等腰直角三角形利用勾股定理得，再证明，进而得出，以及，进而求出的周长即可．
【小问1详解】
证明：如图1所示，在上截取，连接，，，，
是的中点，
，
又所对圆周角为与，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图2所示，在上截取，
，
，
，
∴，
，
又所对圆周角为与，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
答：的周长为．
七、（本题满分12分）
22. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【答案】（1），；
（2）
（3）她当天的比赛能成功完成此动作．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）利用待定系数法求出解析式，即可；
（2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可；
（3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，图象过点，，，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
米；
，
当时：，
解得：或（不合题意，舍去）；
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
当时，，
，
即她在水面上能够完成此动作，
她当天的比赛能成功完成此动作．
八、（本题满分14分）
23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
【答案】（1）“三倍点”坐标为；
（2）当时，；当时，；
（3）的取值范围为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，理解“三倍点”是的定义是解题的关键．
（1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标；
（2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
【小问3详解】
由题意，得“三倍点”所在的直线为．
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
水平距离
3
4
4.5
竖直高度
10
11.25
10
6.25