安徽省舒城第二中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省舒城第二中学九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共27页。试卷主要包含了四象限D. 第二，四象限，，本题满分14分等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限
C. 第三、四象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点，进行解答．熟练掌握该性质是关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
此函数的图象位于第二、四象限，
故选：D．
2. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
，
故选：C．
3. 已知点D、M是边上的三等分点，且，设、四边形、四边形的面积分别为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．本题先根据三条直线平行得到 ，得到对应相似比为，然后得到 ，进而可得出，，最后相比即可得出答案．
【详解】解：∵
∴，
又∵，为的三等分点，
∴，
∴
设，则 ，，
∴，
∴．
故选：D．
4. 如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
故选项A结论错误，不合题意；
在中，，
，
不一定等于，
不一定正确，
故选项B结论错误，不合题意；
中，，
，
故选项C结论正确，符合题意；
在中，，
，
故选项D结论错误，不合题意；
故选C．
5. 如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（ ）
A. 或B. 或或
C. 或D. 或或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．根据题意并结合图象可直接写出不等式的解集．
【详解】解：根据图象并结合已知条件可知不等式的解集为：或或．
故选：D．
6. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（ ）
A. 有一个角相等的两个等腰三角形B. 有一个角相等的两个直角三角形
C. 有一个角是的两个等腰三角形D. 有一组角是对顶角的两个三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意；
B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意；
D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意；
故选：C．
7. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图象与y轴的交点坐标为B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当时，y的值随x的增大而减小D. y的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与坐标轴的交点坐标，增减性，对称轴，顶点坐标，是解题的关键．令，求解函数的值可判断A，再由对称轴，可判断B，利用函数的开口方向与函数的增减性判断C，把顶点的横坐标代入解析式求解纵坐标，可判断D，从而可得答案．
【详解】解：由，
令 则，
所以图象与y轴的交点坐标为，故A正确；
函数的对称轴为：，
所以函数的对称轴在轴的右侧，故B正确；
由， 函数图像的开口向上，
所以当时，y的值随x值的增大而减小，故C正确；
当时，函数的最小值为：， 故D错误；
故选：D．
8. 如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A. 3B. C. 3或D. 3或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可．
【详解】解：当时，如图1，
，
，，，
，
，
；
当时，如图2，
，
，，，
，
．
综上，的长为3或．
故选：C．
9. 如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，延长相交于点，证明，进而得到，即得，利用勾股定理求出，再证明和，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，延长相交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点．则下列结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，求出，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，根据，即可证明，①正确；根据，证明，根据相似三角形的性质以及即可得到，②正确；过P作，，设正方形的边长为，则正方形的面积为，解直角三角形求出和，然后根据计算出的面积，进而可判断④正确；在中，求得和的长，得到的长，据此即可判断③正确．
【详解】解：在正方形中，是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
又，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，过P作，，
设正方形边长为，则正方形的面积为，
为正三角形，
，，
，
，，
，
，故④正确；
在中，，，，
，
，故③正确；
综上，正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则的值等于__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴．
故答案为：．
12. 如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：．
13. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象经过点．点为轴上一动点，当的周长最小时，点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解方程组即可确定的坐标，进而求得的值，解求得点的坐标，根据轴对称的性质求得直线的解析式，从而求得点的坐标，求得交点坐标是解题的关键．
【详解】解：由解得，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为，
解，
得，
经检验是原方程的解，
当时，，
，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
点的坐标为，
故答案为：．
14. 如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时，
（1）当时，则__________；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是__________．
【答案】 ① ## ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）证明，推出即可求解；
（2）证明，推出，由得，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，
∵，，，
∴，
根据垂线段最短可知，当时，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
【答案】（1）
（2），，．
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可．
（1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长；
（2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值．
【小问1详解】
解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
【小问2详解】
解：设，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，．
16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）用待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在的图象上，
代入得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在的图象上，
∴，
，
将，代入中，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：把代入得：，
∴，
如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，
∴．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线，经过，，三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）当为何值时，函数随的增大而增大？
【答案】（1）
（2）当时，函数随的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可；
（2）根据二次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：由于抛物线经过，，
则可设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：对称轴为直线，
由于，则二次函数开口向下，
当时，函数随的增大而增大．
18. 如图：在中，是中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求的值：
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
（1）根据平行四边形的性质求出，，推出，利用相似三角形的性质即可证明；
（2）证明，再根据相似三角形的性质得出即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，F为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
即．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点
（1）求抛物线解析式；
（2）若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴将点代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
∵点M在直线上，且点，
∴点M的坐标为．
将代入，则，
∴，
∴，
∴，
．
当为等腰三角形时，
（ⅰ）若，则，
即，解得．
（ⅱ）若，则，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，则，
即，解得或（舍去）．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．
20. 如图，，点在上，与相交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法及灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键．
（1）由得出，再由得出，即可证明；
（2）由得出与都是等腰直角三角形，再证明得出，通过等量代换得出，即可得出的值．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
与都是等腰直角三角形，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
．
六、（本大题满分12分）
21. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的长；
（2）当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值．
【答案】（1）10 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理，得,
∴，
故答案为：10；
【小问2详解】
解：由题意，得，，
①当时，，
∴，
∴，
解得，
②当时，，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似．
七、（本大题满分12分）
22. 如图，是正方形的对角线，点、分别是和延长线上的点，是等腰直角三角形，，与，分别相交于点，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质可得，再根据，可得，即可证明结论；
（2）先证明，得到，进而证明，推出，易证是等腰直角三角形，得到，由勾股定理求出，进而求出，最后证明，推出，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵是正方形的对角线，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解得关键．
八、本题满分14分
23. 如图1，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴另一交点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方抛物线上一个动点．
①连接，，当的面积最大时，求点坐标．
②如图2，过点作轴的垂线，交抛物线另一点于点，已知点是抛物线上一动点，其横坐标为，连接．过点作轴于点，的延长线与的延长线交于点，求的值．
【答案】（1）；
（2）①点的坐标为；②
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标为，再根据点，求出直线的解析式，即可求得点的坐标为，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①如图①，过点作轴交于点，先设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，列式，再利用二次函数的性质即可求解；
②如图②，由题意，根据点是抛物线上的一点，点的横坐标为，确定，根据抛物线的对称轴为直线，得出点在直线的右侧，点关于直线对称，，即可确定，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
点的坐标为，
直线经过点，
，即直线的解析式为，
将代入，得，
点的坐标为，
将代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①如图①，过点作轴交于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
∵，
∴当时，有最大值，此时，，
点的坐标为；
②如图②，由题意得，
点是抛物线上的一点，点的横坐标为，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
，
点在直线的右侧，
轴，
点关于直线对称，
，
，
点在抛物线上，
，
，
．