初中人教版（2024）平方差公式表格教案设计

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课程基本信息
学科
初中数学
年级
八年级上册
学期
秋季
课题
14.2.1 平方差公式
教科书
书 名：数学
出版社：人民教育出版社 出版日期：2013年6月
教学目标
1. 会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算；
2. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式；
3. 通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.
教学内容
教学重点：
1. 体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
2. 平方差公式的几何意义.
教学难点：
从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.
教学过程
（一）导入新课
从前，有位狡猾的地主把一边长为a米的正方形土地租给张老汉种植. 第二年，这地主对张老汉说：“我把你这块地一边减少5米，另一边增加5米，租金不变，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得也没吃亏，就答应了. 回到家，就把这件事对邻居们一讲，大伙一听，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉很吃惊……那么同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？
问题：如何计算(a–5)(a+5)的结果？运用了什么知识吗？
这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
（二）探索新知
1. 创设情境，探究平方差公式
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x+1)(x-1)=_______；(2)(m+2)(m-2)=______；(3)(2x+1)(2x-1)=_______.
计算：(a+b)(a-b)
归纳：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
表述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
几何验证：根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？

分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；
(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是__________，宽是__________，面积是___________.
师生共同归纳：以上的猜想是正确的，因为最终结果是两个数的平方的差的形式，我们叫它“平方差公式”.
总结：平方差公式（a+b）(a-b)= a2-b2
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.
公式变形:(a – b ) ( a + b) = a2 – b2；(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
点拨：（1）公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；
（2）左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；
（3）右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
2. 典型例题，应用平方差公式
例1.计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y)
分析：在（1）中，把3x看成a，2看成b；（2）把-x看成a，2y看成b。
师生共同解答如下：
解： (1)原式=(3x)2–22=9x2–4；
(2) 原式= (–x)2–(2y)2= x2–4y2.
易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.
点睛：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
例2、运用平方差公式计算：
(1)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5) (2) 102×98
师生共同解答如下：
解: (1)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)= y2–22–(y2+4y–5)= y2–4–y2–4y+5=–4y + 1.
（2）102×98=(100＋2)(100–2)= 1002–22=10000–4 =9996；
总结点拨：不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算；通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
例3.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
师生共同解答如下：
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12–5×22＝–15.
例4.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，
∴n2-1为整数，
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
总结点拨：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5.如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．
(1)上述操作能验证的等式是________．
A. a2−2ab+b2=(a−b)2
B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. a2−ab=a(a−b)
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x2−4y2=18，x−2y=3，求x+2y．
②计算：．
分析：（1）上述操作能验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)，故选B；
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
②原式=(1−1/2)×(1+1/2)×(1−1/3)×(1+1/3)×⋯×(1+1/2022)×(1−1/2022)
=1/2×3/2×2/3×4/3×⋯×2021/2022×2023/2022
=1/2×2023/2022
=2023/4044。
（三）小结梳理
今天我们学了哪些内容:
1.具备什么特征的式子才能运用平方差公式进行计算？
2.平方差公式中字母代表的意义是什么？
3. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
（四）板书设计：