（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用（2份，原卷版+解析版）

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考法一：函数奇偶性的判定与证明
1.定义法
判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证
=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下
第一步，确定函数的定义域.
第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.
第三步，判断与的关系，并确定结论.
若=，则该函数是偶函数；
若=-，则该函数是奇函数；
若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.
2.性质法
(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.
(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.
3.分类讨论法
判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.
4.配凑法
判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.
考法二：函数的奇偶性的应用
1.求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.
2.求函数解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤
(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.
(2)将转化后的自变量代入已知解析式.
(3)利用函数的奇偶性求出解析式.
3.求参数
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.
4.求不等式的解集
已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.
5.比较函数值的大小
根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.
探究一：利用函数奇偶性求函数解析式
已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的( )
A．B．C．D．
探究二：利用函数奇偶性求参数
若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式练习】
1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．9B．5C．25D．
探究三：利用函数奇偶性解不等式
已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
探究四：利用函数奇偶性比较大小
定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
【变式练习】
1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．，
2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
3．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空题
9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.
11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．
12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________
三、解答题
13．已知是奇函数，且.
(1)求实数的值．
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．
(3)求的最大值．
14．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
15．设函数，，令函数．
(1)若函数为偶函数，求实数a的值；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称