期中常考题型 专题训练5（函数的单调性与奇偶性）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册

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期中专题复习五——函数的单调性与奇偶性考向一  基本函数的单调性与奇偶性的判断 1、给出下列四个函数：①；②；③；④.其中在区间上是减函数的是(    )A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】A【详解】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①，为二次函数，在上是减函数；对于②，为幂函数，在上是增函数；对于③，为反比例函数，在上是增函数；对于④，当时，，即其在上是增函数；故选：．  2、若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中是“理想函数”的序号是(    )A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④【答案】C【详解】解：函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”， “理想函数”既是奇函数，又是减函数，①是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；②是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；③是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．④是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．故选：3、下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【详解】因为函数，是偶函数，函数是非奇非偶函数，排除B、C、D，函数既是奇函数，又在上单调递减，A正确.故选：A.4、函数的定义域为，“是奇函数”是“存在，”的(    )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】根据奇函数的定义，须满足在定义域上的任意，都有成立，所以命题：若是奇函数，则存在，为真命题；而命题：若存在，，则函数是奇函数为假命题.所以“是奇函数”是“存在，”的充分而不必要条件.故选：A.5.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B． 考向二  复杂函数的单调性与奇偶性的判断与证明1、已知，函数.（1）用函数单调性的定义证明：在上是增函数；（2）若在上的值域是，求的值.解：（1）由题意可知：.，且，………………………………………………………1分则.  …………………3分∵，∴， ……………………………………………………………4分∴，即，  ………………………………………………5分∴在上是增函数.     …………………………………………………6分（2）易知，由（1）可知在上为增函数.     …………………7分∴，解得.…………………………………………………9分又由，得，解得. ………………………………………12分2、已知f（x）为二次函数，且．（1）求f（x）的表达式； （2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析．【解析】（1）利用题中所给的条件，先设出函数的解析式，利用，将式子化为恒等式，利用对应项系数相等，得到方程组，求得结果；（2）先化简函数解析式，利用单调性的定义，证明得到函数的单调性，得到结果.【详解】（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x， 从而，   解得：， 所以f（x）=x2﹣2x﹣1； （2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增． 理由如下：g（x）==，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2， 则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+）， ∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．3、已知函数是R上的偶函数（1）求实数m的值;（2）判断并用定义法证明函数在上的单调性．（1）若函数是上的偶函数，则，即，对任意实数恒成立，解得．（2）由（1）得：，函数在，上为增函数，下证明：设任意，，且，即△则，，且△，，即△，于是函数在，上为增函数．4、已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，则，即有，且，则，解得，，则函数的解析式：；满足奇函数（2）证明：设，则，由于，则，，即，，则有，则在上是增函数；（3）解：由于奇函数在上是增函数，则不等式即为，即有，解得，则有，即解集为． 5、已知函数，设函数.⑴证明函数在上为增函数.⑵若方程有两个不相等的实根，有一根小于1，且另一根在内，求的取值范围.【答案】（1）证明详见解析     （2）详解】（1）设，，函数在上为增函数（2）有一根小于1，且另一根在内，故满足，即， 考向三  单调性与奇偶性的应用1、已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，那么____．【答案】4.【详解】依题意可知x＝2是函数f（x）的极小值点，又，所以，＝0，解得：a＝4,经检验成立故答案为42、已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是_______.【答案】【详解】在上是增函数，，根据增函数性质，可得，解得答案为：3、已知函数是偶函数，则______________.【答案】.【详解】因为函数，且函数是偶函数，所以，即恒成立，可得.故答案为：. 4、已知是定义域为的偶函数，如果，那么    ▲    .答案：5、若函数为奇函数，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】根据奇函数的性质，，整理化简后，得到的值.【详解】因为函数为奇函数，所以即整理得，因为，所以.故选：B.6、如图，给出了奇函数的局部图象，那么f(1)等于A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【详解】根据题意，由函数的图象可得，又由函数为奇函数，则，故选：B．7、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则_______，_______.【答案】    (1). 0    (2). 0【详解】当时，得，得，当时，得，即，又因是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，所以，解得当时，得当时，得所以答案为：，8、对任意，函数，则的最小值为(　　 )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出f（x）的最小值【详解】分别作出y＝﹣x+3，yx，y＝x2﹣4x+3的图象如图：（阴影部分对应的曲线ABCDE），则由图象可知函数f（x）在C处取得最小值，由，得x＝1，y＝2，即f（x）的最小值为2．故选：A．9、函数是区间上的增函数，则的取值范围是(    )A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【详解】解：在区间上的增函数及在区间上都为增函数 故选：10、若函数在上为增函数，则取值范围为_____.【答案】【解析】函数在上为增函数，则需，解得，故填.11、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是(    )A.  B. C.  D. 【答案】D【详解】因为函数是偶函数，所以，又因为函数在上是增函数，且，所以，即.故选：D.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小问题，属基础题.12.已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么不等式 的解集是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【详解】由于y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当时，，则时， ，当时，，所以，当时，，则，当时，成立，当时， ，则，综上：不等式的解集是，选D.13、函数是奇函数，且当时，函数单调递增.若，则________；不等式的解集为_________.【答案】    (1). ；    (2). 【详解】解：是奇函数，且在上单调递增，， 作出函数的图象如图：则的解为或，所以的解集为： 故答案为： ；14、已知 定义在上的偶函数,且在上是减函数，则满足的实数的取值范围是(          )。A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意 定义在上的偶函数,且在上是减函数，可得在上是增函数。由可得，应满足，解得 ，故答案选C。15、函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】对任意的，有,即对任意的,设，都有，所以在上单调递减.又函数为偶函数，即.则的图像关于直线对称.所以, 则.故选：B.16、设偶函数的定义域为R，当x时是增函数，则，，的大小关系是（    ）A．<< B．>>C．<< D．>>【答案】D【解析】根据奇偶性得到，结合单调性得到.【详解】因为是R上的偶函数所以 又x时是增函数，且 所以 即 故选：D17、已知是定义在上的偶函数，且当时，.(1)写出函数的解析式和单调减区间；(2)若函数，，求函数的最小值.【答案】见解析.【详解】（1）由已知可得，当时，，，即当时，，所以；当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，所以的单调减区间为、；（2）当时，，，当，即时，在上单调递增，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，；当，即时，在上单调递减，.综上所述，当时，；当时，；当时，. 考向四  抽象函数的单调性与奇偶性及其应用 1、设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且f（x）为增函数，已知f（2）=1，对任意x，y∈R+，有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）已知f（a）-2＞f（a-2），求实数a的取值范围．

【答案】解：（1）令y=1，得f（x）=f（x）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=2得f（4）=f（2）+f（2）=2．
（2）由 f（a）-2＞f（a-2）得f（a）＞f（a-2）+2=f（a-2）+f（4）=f（4a-8），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴ ，
解得： ，
故得实数a的取值范围是。

2、定义在上的函数满足，且当时，．（1）求；（2）证明函数在上的单调递减；（3）若，求函数在上的最小值【解答】解：（1）令，则（1）=0；（2）证明：任取，则，则，即，，为上的单调递减函数；（3）为上的单调递减函数，在，上的最小值为（9），令，得，（3）（9）（3），即（9）（3）．故在，上的最小值． 3、已知的定义域是，且满足：（2），．又当时，（1）求（1），（4）的值；（2）若，求的取值范围．【解答】解（1）令得（1）（1）（1），（1）再令，，（2），（4）（2）（2）（2）（4）那么转化为（4）可得：（4）对于，都有．函数在增函数，解得：．即的取值范围是，．4、设函数的定义域为且对任意正实数、都有恒成立．已知（2）且时．（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并证明；解：（1）令，得（1）而令，，得（1）（2）（2），（4分）（2）在上任取两数，，且，令，则在上是单调增函数．（8分）5、已知函数的定义域为，当时，，且对于任意实数，有，．（1）求；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）判断函数的单调性并证明；（4）求在，上的最值．【解答】解：（1）令，可得；（2）令，可得，是奇函数；（3）任取，则，时，，，又，即，，，在上是单调递减函数，（4）时，函数取得最大值（2）（1）（1），时，函数取得最小值（4）（2）（2）．6、函数的定义域，且满足对于任意，，有．（1）求（1）与的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）若时，，求证在区间上是增函数；（4）在（3）的条件下，若（4），求不等式的解集．解：（1）令，有（1）（1），解得（1）．令，有（1），解得．（2）令，，有，定义域关于原点对称可得是偶函数．（3）设，且，则，，则，在区间上是增函数．（4）（4）（4），由变形为．为偶函数，，在（3）的条件下有且，解得．