（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型05 全称量词与存在量词的求解问题（2份，原卷版+解析版）

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(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题。
2.(1)“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。
(2)含有存在量词的命题叫做存在量词命题。
3.全称量词命题p:∀x∈M,p(x)(¬p(x)).存在量词命题p:∃x∈M,p(x)(¬p(x))。
4.常用否定词
一般地，写一个命题的否定时，往往需要对正面叙述的词语进行否定，一些常用的词语和它的否定词语对照列表如下：
考法一：判断全称量词命题与存在量词命题的真假
1.全称量词命题真假的判断
(1)要证明“∀x∈M，p(x)”为真.
①定义法：对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真.
②间接法：证明‘ “∃x0∈M,¬px0”为假.
(2)要证明“∀x∈M，p(x)”为假.
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为假，则全称量词命题为假；
②间接法：证明 “∃x0∈M,¬px0”为真。
2.存在量词命题真假的判断
(1)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为真。
①特值法：在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)为真，则存在量词命题为真；
②间接法：证明‘ “∀x∈M,¬px”为假.
(2)要证明“∃x0∈M，p(x0)”为假，需证明 “∀x∈M,¬px”为真。
考法二：全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定为 “∃x0∈M,¬px0”;存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为 “∀x∈M,¬px”.
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：
①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；
②将结论加以否定.可简记为“前变后否”.
考法三：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，主要方法是分离参数法，最终转化为最值问题.分离过程中，把题目中所求范围的量放在左边，其余的放在右边，再求右边式子的相应最值，变形必须是恒等的。
探究一：判断全称、存在量词命题的真假
对三个正实数、、，下列说法正确的是
A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C．对（、、）任意值，、、都不小于2
D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
【变式练习】
1．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则对于任意的，都有
2．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究二：全称量词命题的否定及其真假的判断
下列命题中，假命题是（ ）
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
【变式练习】
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．设命题p：任一实数的平方都不小于0，则命题p的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究三：存在量词命题的否定及其真假的判断
下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定为“”；
④命题“是的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
【变式练习】
1．已知命题：，，使得，则为（ ）
A．，，使得B．，，使得
C．，，使得D．，，使得
2．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
探究四：与全称量词命题或存在量词命题有关的参数取值范围问题
若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
1．设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．(-D．(-
2．已知命题P：若命题P是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0
D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号
4．已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
5．若命题p：“，”是假命题，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（ ）
A．p1B．p2C．p3D．p4
8．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
二、多选题
9．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A．B．C．D．
10．下列全称量词命题与存在量词命题中，是真命题的为（ ）
A．设A，B为两个集合，若，则对任意，都有
B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在，使得
C．{是无理数}，是有理数
D．{是无理数}，是无理数
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”；
B．命题“，”的否定是“，”；
C．，使得；
D．若集合是全集的子集，则命题“”与“”同时成立；
三、填空题
12．已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
13．已知命题：“，”，命题：“，”，的否定是假命题，是真命题，则实数的取值范围是___________.
14．已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
四、解答题
15．在①，，②存在区间，，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题．
问题：求实数a满足的条件，使得命题，，命题q：______，都是真命题．
16．已知，.，.
(1)若为真命题，求的取值范围；
(2)若，一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围．
17．已知命题p:，，命题q：，一次函数的图象在x轴下方．
(1)若命题P的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题的否定也为真命题，求实数的取值范围．
18．已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
原词语
等于
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
不等于
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
某个
某两个
某些
不能