（人教A版）2024年高中数学高一暑假讲义+练习05《全称量词与存在量词》(原卷版+教师版)

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1．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
1．下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的菱形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列全称量词命题为真命题的是( )
A．所有的质数是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
3．下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，x＋2019<1D．∃x∈R,2x＞2
4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( )
A．￢p：∃x∈R，sin ≥1
B．￢p：∀x∈R，sin x≥1
C．￢p：∃x∈R，sin x＞1
D．￢p：∀x∈R，sin x＞1
全称量词命题和存在量词命题的判断
【例1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使eq \f(1,x－1)＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝eq \f(1,2).
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：
1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.
2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
1. 判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
含有一个量词的命题的否定的方法
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
2．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
全称量词命题与存在量词命题的应用
【例3】 对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
1 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin.
2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax.
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m＞1
C．m＜1 D．m≤1
1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．
2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．
3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．
1．思考辨析
(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )
(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.( )
2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )
A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆
D．某些四边形不存在外接圆
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)对某些实数x，有2x＋1>0；
(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(3)∃x∈Q，x2＝3.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A．∀x<0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0
C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0
2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形都是等腰三角形
3．命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
4．命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( )
A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
5．已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤eq \f(1,4) B．aC．a<－eq \f(1,4)或a>0 D．a≤－eq \f(1,4)或a≥0
二、填空题
6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．
8．若命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)∃x>1，x2－2x－3＝0.
10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
B级：“四能”提升训练
1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
2．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.
2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1.通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.