第05讲 全称量词与存在量词-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 全称量词与存在量词
·模块二 全称量词命题与存在量词命题的否定
·模块三 命题的否定与原命题的真假
·模块四 课后作业
模块一
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
【考点1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1.1】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．
【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；
B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；
C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；
D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．
故选：C.
【例1.2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）下列是存在量词命题且是假命题的是（ ）
A．∃x∈Z,x2>2B．∀x∈R,x2>0C．∃x,y∈R,x2+y2<0D．∀x∈R,x2∈N
【解题思路】根据存在量词命题和假命题特征判断即可．
【解答过程】A为真命题；B和D为全称量词命题；
因为x,y∈R，所以x2≥0，y2≥0，故x2+y2≥0，故C为假命题
故选：C.
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（ ）
A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【解题思路】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案.
【解答过程】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.
故选：D.
【变式1.2】（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）关于命题“∃x∈N，x2+2x=0”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题，且是真命题B．该命题是存在量词命题，且是真命题
C．该命题是全称量词命题，且是假命题D．该命题是存在量词命题，且是假命题
【解题思路】根据存在量词命题的定义及取x=0可判断.
【解答过程】该命题是存在量词命题，当x=0时，x2+2x=0，所以该命题为真命题.
故选:B.
【考点2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例2.1】（2023秋·湖北武汉·高一校考期末）下列命题中不正确的是（ ）
A．对于任意的实数a，二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B．存在一个无理数，它的立方是无理数
C．存在整数x、y，使得2x+4y=5
D．每个正方形都是平行四边形
【解题思路】利用二次函数的对称性可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；分析可知2x+4y为偶数，可判断C选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，对于任意的实数a，二次函数y=x2+a图象的对称轴为y轴，A对；
对于B选项，无理数62的立方为2，且2为无理数，B对；
对于C选项，若x、y为整数，则2x、4y均为偶数，所以，2x+4y也为偶数，
则2x+4y=5不成立，C错；
对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对.
故选：C.
【例2.2】（2023·高一课时练习）能说明全称量词命题“∀x∈R,xx2−3x+2=0”为假命题的例子是（ ）
A．x=0B．x=1C．x=2D．x=3
【解题思路】求出方程的根，即可判断.
【解答过程】因为xx2−3x+2=0，即xx−2x−1=0，解得x=0或x=1或x=2，
所以当x≠0且x≠1且x≠2时均能说明全称量词命题“∀x∈R,xx2−3x+2=0”为假命题，
故符合题意的为D.
故选：D.
【变式2.1】（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，x+2x−3>0，命题q：∃x∈R，2x2−4x+3=0，则（ ）
A．p真q真B．p假q假C．p假q真D．p真q假
【解题思路】对于命题p：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数的Δ判别式分析判断.
【解答过程】对于命题p：令t=x>1，则y=t+2t2−3=2t2+t−3开口向上，对称轴为t=−14，
且y|x=1=0，则y=2t2+t−3>0，
所以∀x>1，x+2x−3>0，即命题p为真命题；
对于命题q：因为Δ=−42−4×2×3=−8<0，
所以方程2x2−4x+3=0无解，即命题q为假命题；
故选：D.
【变式2.2】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．∀x∈R,x2+3<0B．∀x∈N,x2≥1
C．∃x∈Z,x5<1D．∃x∈Q,x2=5
【解题思路】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.
【解答过程】对于A，因为x2≥0，所以∀x∈R,x2+3≥3，A错误；
对于B，当x=0时，x2<1，B错误；
对于C，当x=0时，x5<1，C正确；
由x2=5可得x=±5均为无理数，故D错误，
故选:C.
模块二
全称量词命题与存在量词命题的否定
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【考点1 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例1.1】（2023春·甘肃张掖·高一校考阶段练习）命题：“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是（ ）
A．∀x∉R，x2−x+2≥0B．∃x∉R，x2−x+2≥0
C．∃x∈R，x2−x+2<0D．∀x∈R，x2−x+2<0
【解题思路】根据全称量词的否定是存在量词可得结果.
【解答过程】命题：“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是∃x∈R，x2−x+2<0.
故选：C.
【例1.2】（2023·高一课时练习）若命题p的否定为：∃x<1,x2<1，则命题p为（ ）
A．∀x<1,x2<1B．∀x<1,x2≥1C．∀x≥1,x2≥1D．∀x≥1,x2<1
【解题思路】利用含有量词的否定方法进行求解.
【解答过程】因为命题p的否定为：∃x<1,x2<1，
所以命题p为：∀x<1,x2≥1.
故选：B.
【变式1.1】（2023·高一课时练习）命题“∃x∈R,x2+1<0”的否定是（ ）
A．∀x∈R,x2+1<0B．∀x∈R,x2+1≥0
C．∃x∈R,x2+1>0D．∃x∈R,x2+1≥0
【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题即可求出结果.
【解答过程】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题：“∃x∈R,x2+1<0”的否定是”∀x∈R,x2+1≥0”，
故选：B.
【变式1.2】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知命题p:∃x∈0,+∞，x2+x−2>0，则¬p（ ）
A．∀x∈0,+∞，x2+x−2≤0B．∀x∈−∞,0，x2+x−2≤0
C．∃x∈0,+∞，x2+x−2≤0D．∃x∈−∞,0，x2+x−2≤0
【解题思路】利用特称命题的否定形式即可判断选项.
【解答过程】解：命题p的否定为：∀x∈[0,+∞)，x2+x−2≤0.
故选：A．
模块三
命题的否定与原命题的真假
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2.命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，
当原命题为假时，命题的否定为真.
【考点1 命题否定的真假判断】
【例1.1】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x-3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.
【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
【例1.2】（2023·高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）∀x∈R，x2+x+1>0；
（2）∃x∈R，x2−x+1=0；
（3）所有的正方形都是矩形.
【解题思路】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；
（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；
（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.
【解答过程】（1）存在x∈R，x2+x+1≤0，真假性：假命题.
（2）任意x∈R，x2−x+1≠0，真假性：真命题.
（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.
【变式1.1】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)∃x∈R，使4x−3>x；
(3)∀x∈R，有x+1=2x.
【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,
对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;
对(2)举例说明4x−3≤x不成立;
对(3)举例说明x+1≠2x成立.
【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
（2）命题的否定：∀x∈R，有4x−3≤x．因为当x=2时，4×2−3=5>2 ，所以“∀x∈R，有4x−3≤x”是假命题．
（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．
【变式1.2】（2023·高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）有些素数是奇数；
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）不论m取何实数，方程x2+2x−m=0都有实数根；
（4）∃x∈R，x2+2x+5>0．
【解题思路】根据特称命题与全称命题的否定依次书写每个命题的否定并判断真假即可.
【解答过程】解：（1）所有素数都不是奇数，假命题；
（2）有些矩形不是平行四边形，假命题；
（3）存在实数m，使得方程x2+2x−m=0没有实数根，真命题；
（4）∀x∈R，x2+2x+5≤0，假命题．
【考点2 根据命题的真假求参数】
【例2.1】（2023春·湖南长沙·高一校考阶段练习）若命题“∀x∈R,x2−4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,4B．−∞,4C．−∞,−4D．−4,+∞
【解题思路】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.
【解答过程】命题“∀x∈R,x2−4x+a≠0”为假命题，∴“∃x0∈R,x02−4x0+a=0”是真命题，
∴方程x2−4x+a=0有实数根，则Δ=(−4)2−4a≥0，解得a≤4，
故选：A.
【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x∈−1,3，x2−2x−a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A．−1B．0C．1D．3
【解题思路】参变分离后，令新函数ℎx=x2−2x，转化为求函数ℎx的最小值，利用二次函数性质求解.
【解答过程】由题意，∃x∈−1,3，a≥x2−2x，
令ℎx=x2−2x，则∃x∈−1,3，a≥ℎxmin，
因为函数ℎx=x2−2x在−1,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以ℎxmin=ℎ1=1−2=−1，所以a≥−1.
所以实数a可取的最小整数值是−1.
故选：A.
【变式2.1】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）若“∀x∈M，x>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．−∞,3B．−∞,−1C．0,3D．3,+∞
【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，x>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.
【解答过程】解：∵ ∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，
又∀x∈M，x>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，
故选：B.
【变式2.2】（2023·高一课时练习）已知命题p:∃x∈R，mx2+1≤0；命题q:∀x∈R，x2+mx+1>0．若p，q都是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤−2B．m≥2C．m≥2或m≤−2D．−2≤m≤2
【解题思路】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.
【解答过程】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：∀x∈R,mx2+1>0为真命题，
解得m≥0，
同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即∃∈R,x2+mx+1≤0为真命题，
所以Δ=m2−4≥0，解得m≥2或m≤−2，
综上：m≥2，
故选：B.
【考点3 根据命题否定的真假求参数】
【例3.1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题p:∀x∈R，x2+1≥a，若¬p为真命题，则a的取值范围是（ ）．
A．−∞,1B．−∞,1C．1,+∞D．1,+∞
【解题思路】根据全称命题的否定得到¬p，然后将存在问题转化为最值问题，求出x2+1min即可.
【解答过程】¬p：∃x∈R，x2+1因为¬p为真命题，
则x2+1min1.
故选：C.
【例3.2】（2023·高一单元测试）若命题“∃x0∈R，x02+(a−1)x0+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解题思路】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用Δ>0求得a的取值范围．
【解答过程】命题“∃x0∈R，x02+(a−1)x0+1<0”的否定是假命题，
则命题“∃x0∈R，x02+(a−1)x0+1<0”是真命题，
即Δ=(a−1)2−4>0，
解得a＞3或a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
故选：D.
【变式3.1】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤0或x≥4}D．{x|x＜0或x＞4}
【解题思路】先求出命题的否定，然后利用二次函数的性质求解即可
【解答过程】解：由题意可知，命题p的否定是：∃x∈R，ax2+ax+1＜0，
因为命题p的否定是真命题，
所以a＜0或a＞0△=a2−4a＞0，解得a＜0或a＞4，
故实数a的取值范围是{x|x＜0或x＞4}.
故选：D.
【变式3.2】（2023秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：∃x∈{x|1A．a<1B．a>3C．a≤3D．a≥3
【解题思路】根据给定条件写出命题¬p，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【解答过程】因命题p：∃x∈{x|1又¬p是真命题，即x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，
所以实数a的取值范围是a≥3.
故选：D.
模块四
课后作业
1．（2023秋·广东江门·高一校考期中）命题“∀x∈0,1,x2−x<0”的否定是（ ）
A．∀x∈0,1,x2−x≥0B．∃x∉0,1,x2−x≥0
C．∀x∈0,1,x2−x<0D．∃x∈0,1,x2−x≥0
【解题思路】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.
【解答过程】命题“∀x∈0,1,x2−x<0”的否定是：∃x∈0,1,x2−x≥0.
故选：D.
2．（2023·高一课时练习）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A．∀a,b∈R,a2+b2<0B．菱形的两条对角线相等
C．∃x0∈R,x02=x0D．一次函数的图象是直线
【解题思路】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
【解答过程】对于A，∀a,b∈R,a2+b2<0为全称量词命题，但是a2+b2≥0，故是假命题，故A错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，
对于C,是存在量词命题,故C错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，
故选：D.
3．（2022秋·浙江丽水·高一校考阶段练习）若命题“存在实数x0，使x02+ax0+1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（−∞，−2]B．[−2，2]C．（−2，2）D．[2，+∞）
【解题思路】写出特称命题的否定，根据真命题结合二次函数的性质有Δ≤0，即可求a的取值范围.
【解答过程】∵命题“存在实数x0，使x02+ax0+1<0”的否定是真命题，
∴“任意实数x，使x2+ax+1≥0”为真命题，
∴Δ=a2−4≤0，
∴−2≤a≤2，
故选：B.
4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知命题p:∃x∈N，ex<0（e为自然对数的底数）;q:∀x∈R，x2+x≥0，则下列为真命题的是（ ）
A．p真，q假B．p真，q真
C．p假，q真D．p假，q假
【解题思路】由全称量词，特称量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【解答过程】∵∀x∈N,ex>0,∴命题p为假命题，∵∀x∈R，必有x2≥0,x≥0，所以x2+x≥0，
∴命题q为真命题.
故选：C.
5．（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知命题p:∀x∈R，x2+2x−a>0.若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>−1B．a<−1C．a≥−1D．a≤−1
【解题思路】求得命题为真时参数a的取值范围，再求其补集即可.
【解答过程】若命题p为真，则Δ=4+4a<0，解得a<−1，
则当命题p为假命题时，a≥−1，故a的取值范围是a≥−1.
故选：C.
6．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知a为实数，使“∀x∈3,4，x−a<0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a>4B．a>5C．a>3D．a≥4
【解题思路】根据全称量词命题的真假性求得a的取值范围，然后确定其充分不必要条件.
【解答过程】解：依题意，全称量词命题：∀x∈3,4,x−a<0为真命题，
所以，a>x在区间3,4上恒成立，所以a>4，
所以使“∀x∈3,4,x−a<0”为真命题的一个充分不必要条件是“a>5”.
故选：B.
7．（2023·高一课时练习）不能说明存在量词命题“∃x,y∈R,x2+y2−2x=1”为真命题的例子是（ ）
A．(x,y)=(0,1)B．(x,y)=(0,−1)
C．(x,y)=(2,1)D．(x,y)=(−2,1)
【解题思路】将各个选项代入计算可得.
【解答过程】对于A：(x,y)=(0,1)此时x2+y2−2x=02+12−2×0=1，符合题意；
对于B：(x,y)=(0,−1)此时x2+y2−2x=02+−12−2×0=1，符合题意；
对于C：(x,y)=(2,1)此时x2+y2−2x=22+12−2×2=1，符合题意；
对于D：(x,y)=(−2,1)此时x2+y2−2x=−22+12−2×−2=9≠1，不符合题意.
故选：D.
8．（2023·高一课时练习）如果命题¬p与¬q至少有一个为真命题，那么（ ）
A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题
【解题思路】通过命题¬p与¬q至少有一个为真命题分析p，q的真假可得答案.
【解答过程】因为命题¬p与¬q至少有一个为真命题，所以¬p与¬q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题，
当¬p与¬q恰有一个为真命题时，则p，q是一真命题一假命题；
当¬p与¬q都为真命题时，则p，q均为假命题，
所以p，q中至多有一个为真命题.
故选：D.
9．（2023秋·河北邢台·高一校考期末）命题p:∃x0∈R，使得kx02−6kx0+k+8<0成立.若p是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,0∪1,+∞
【解题思路】根据p是假命题，得出¬p为真命题，利用恒成立知识求解.
【解答过程】因为p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，使得kx2−6kx+k+8≥0成立.
当k=0时，显然符合题意；
当k≠0时，则有k>0，且36k2−4kk+8≤0，解得0故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）命题p:∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为（ ）
A．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
B．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根
C．真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
D．假命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
【解题思路】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可.
【解答过程】在一元二次方程x2−ax−1=0中Δ=a2+4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，
故命题p为真命题，¬p:∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根.
故选：A.
11．（2023·全国·高三专题练习）用数学符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断命题的真假性．
(1)当x>0时，x2−2x+2≥0；
(2)自然数不都是正整数；
(3)至少存在一个实数x，使得x2>0.
【解题思路】（1）（2）（3）应用数学语言∀、∃描述已知命题，进而判断其真假.
【解答过程】（1）命题表示为“∀x>0，x2−2x+2≥0”．
因为x2− 2x+2=(x−1)2+1>0，所以该命题为真命题．
（2）命题表示为“∃x∈N，x∉N+”．
因为0∈N，0∉N+，所以该命题为真命题．
（3）命题表示为“∃x∈R，x2>0”．
因为22=4>0，所以该命题为真命题．
12．（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被4整除；
(2)对任意实数x，都有x2−2x−3<0；
(3)方程x2−5x−6=0有一个根是奇数．
【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；
（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当x=3时符合不等式，则命题的否定为真；
（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为6和−1，则则命题的否定为假．
【解答过程】（1）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；
该命题的否定是真命题．
（2）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在实数x，使得x2−2x−3≥0；
该命题的否定是真命题．
（3）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2−5x−6=0的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．
13．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）已知命题p:∀x∈R,x2+2x+1>0．
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由，
【解题思路】（1）根据全称命题的否定为特称命题即可求解；
（2）因为y=x2+2x+1=x+12≥0即可判断命题p.
【解答过程】（1）由命题p:∀x∈R,x2+2x+1>0，
可得命题p的否定为∃x0∈R,x02+2x0+1≤0，
（2）命题p为假命题，
因为y=x2+2x+1=x+12≥0（当且仅当x=−1时取等号），
故命题p:∀x∈R,x2+2x+1>0为假命题.
14．（2023·重庆酉阳·重庆市校考一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+1<0成立.
(1)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【解答过程】（1）由q真：Δ=16m2−4>0，得m<−12或m>12，
所以q假：−12≤m≤12；
（2）p真：Δ=4m2+12m<0推出−3由p和q有且只有一个为真命题，
∴ p真q假，或p假q真，
−312，
∴−12≤m<0或m≤−3或m>12.
15．（2023·全国·高三专题练习）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2−8x−10=0的每一个根都不是奇数.
（4）若ab≠0，则a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0.
【解题思路】（1）利用特称命题的概念进行判断，结合不等式判断真假；
（2）利用特称命题的概念进行判断，结合三角形判断真假；
（3）利用全称命题的概念进行判断，方程判断真假；
（4）利用全称命题和特称命题的概念进行判断，结合充要条件判断真假.
【解答过程】（1）该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3>0，
该命题的否定是真命题.
（2）该命题是特称命题，
该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形，
该命题的否定是假命题.
（3）该命题是全称命题，
该命题的否定是：方程x2−8x−10=0至少有一个根是奇数，
该命题的否定是假命题.
（4）该命题既不是全称命题又不是特称命题，
该命题是假命题.
证明：当a2+b+ab−a2−b2=0时，有b+ab=b2，
则b(1+a)=b2，
又因为ab≠0，可知a≠0且b≠0，
1+a=b即a−b=−1，
故由a2+b+ab−a2−b2=0推不出a+b=1，
由此即可判断a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0是假命题.