（人教A版）必修二高一数学下学期第一次月考模拟试卷（三角函数+平面向量+解三角形）（2份，原卷版+解析版）

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1．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等B．单位向量
C．零向量与任意向量平行D．若向量，满足，则
【答案】C
【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；对于B：单位向量.故B错误；对于C：零向量与任意向量平行.正确；对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C
2．已知向量，若与共线，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】易得，因为与共线，
所以，即，所以.故选：.
3．若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】、是方程的两个根，，，，，即、,，则，则，故选：B．
4．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，即，即，
又，，解得，，所以.故选：C
5．若非零向量 和 满足 ， 且 ， 则 一定是（ ）
A．钝角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．有一个内角为 的锐角三角形
【答案】B
【解析】因为表示与同向的单位向量，
根据向量的性质可得，
在的角平分线上（设角平分线为，
，，从而有，所以，
又因为且，所以，又，所以，所以，则，所以三角形为等腰直角三角形.故选：B．
6．已知函数在时取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在时取得最大值，所以，即，所以
故选：C
7．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，
其中锐角满足，因此，当时，，
当时，，所以的取值范围是.故选：D
8．在中，若，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，不妨设，，，则，，
由余弦定理得，即，则，
故，则，所以，
又因为，
故，当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．所以，即.故选：A.
二、多项选择题：
9．已知向量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则；
B．若与夹角为锐角，则；
C．若，则在方向上投影向量为；
D．若，则
【答案】ACD
【解析】若，则，解得，A正确；
若与夹角为锐角，则，解得，又当，，此时，与夹角为0，故B错误；
若，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，
所以在方向上投影向量为，C正确；
若，则与同向，由上可知，此时，D正确.故选：ACD
10．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象的所有对称中心都可以表示为（）
C．函数在上的最小值为
D．函数在区间上单调递减
【答案】ABC
【解析】，
A选项，，所以图象关于直线对称，A选项正确.
B选项，由，解得，所以图象的所有对称中心都可以表示为（），B选项正确.
C选项，，所以当时，取得最小值，C选项正确.
D选项，，所以函数在区间上单调递增，D选项错误.故选：ABC
11．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【解析】设，，，，则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.故选：AD
三、填空题：
12．已知向量，，则向量在向量的方向上的数量投影为__．
【答案】
【解析】向量在向量的方向上的数量投影为：．
故答案为：.
13．如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．
【答案】
【解析】在中，，解得，
其中，
在中，，
所以，由正弦定理得，，
故．在中，，所以，估算该雕像的高度为米．故答案为：
14．在中，，M为的外心，若，，则________．
【答案】7
【解析】如图，令边AB，AC中点分别为D，E，连接DM，EM，因点为的外心，于是得，
，，，
，，
依题意，，
，解得，
所以.故答案为：
四．解答题：
15．已知两个非零向量与不共线，
（1）若，求证：A､B､D三点共线；
（2）试确定实数k，使得与共线；
（3）若，且，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】（1）∵，
∴，∴共线，
又∵它们有公共点B，∴A､B､D三点共线；
（2）∵与共线，∴存在实数，使，
即，∴，
∵是两个不共线的非零向量，∴，
∴，解得；
（3）∵，且，
∴，解得.
16．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
所以的最小正周期.
（2）∵，∴，当，即时，.
17．已知函数，（其中，）的最小正周期为10．
（1）求的值；
（2）设，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由得；
（2）由整理得，
∵，∴，
∴.
18．的内角的对边分别为，已知，．
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，所以．
在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），．
（2）因为，由余弦定理得，
又，即是直角三角形，所以，
则，
又，则，
所以的面积为．
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A角的值；
（2）若为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
因为，∵，∴，
∵，∴，∴，因为，∴，∴.
（2）由正弦定理，
，
∵为锐角三角形，∴，即，，
∴}∴的取值范围是.