（人教A版）必修二高一数学下学期同步下学期第一次月考模拟试题二（2份，原卷版+解析版）

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1．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为：“，”.
故选：B
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可.
【详解】，，，所以.故选：B
3．若定义在R的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数可得函数在上单调递减，，然后可得答案.
【详解】因为定义在R的奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，，所以由可得，故选：D
4．已知，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）．
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】根据定义由待定系数法判断每组向量是否共线，判断.
【详解】对于A选项，因为，则和共线，A选项不满足条件；
对于B选项，设，则，无解，故和不共线，B选项能作为基底；同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．
故选：A．
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，，
两式相加得，.故选：C.
6．下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】A. 由判断；B.由判断；C.作出 的图象判断；D. 作出的图象判断.
【详解】A. 因为，则，由，得，所以 单调递增，故正确；
B. ，则，由，得，所以不单调，故错误；
C. ，其图象如图所示：，由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；
D. ，其图象如图所示：由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；
故选：A
7．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用与倍角公式即可求解.
【详解】依题意，∵，∴，两边平方可得，
∴，∴，∴．，∴，
∴．故选：B.
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.
【详解】因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，所以.因为，
由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故选：B.
二、多选题：
9．已知向量，则（ ）
A．B．向量的夹角为
C．D．在方向上的投影向量是
【答案】BD
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，，，，，故A错误；，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；在方向上的投影向量为，故D正确.故选：BD.
10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A利用向量减法运算结合图形即可判断，对B借助图形和共线向量的定义即可判断，对C利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D结合图形即可判断.
【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对B，由图易得，直线平分角，
且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，
易知均为含的直角三角形，故，则，
而，故，故，故B正确；
对C，，
，则，又，，
，，故C正确；
对D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
11．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解
【答案】ABD
【分析】根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D.
【详解】A：为偶函数，故，令，得，
为奇函数，故，令，得，
其中，所以，故A正确；
B：因为为奇函数，则,得，
又为偶函数，则，得，
所以，令得，
即，则，即，所以8为函数的一个周期.
故，所以，
从而为奇函数，故B正确；
C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称，
所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误；
D：作出与的大致图象，如图所示，
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，
故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：ABD.
三、填空题：
12．已知，则_________．
【答案】.
【分析】由诱导公式，可知，后由二倍角公式可得答案.
【详解】注意到，
则.故答案为：.
13．在中，已知，，，则的值为______．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式求得，由平方公式得弦值，再根据数量积的定义求解即可．
【详解】解：
，又，，.
故答案为：．
14．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________.
【答案】
【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.
【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，
则等边三角形的边长，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，
等边的面积，所以莱洛三角形的面积是.
故答案为：.
四、解答题：
15．已知，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式求解；
（2）利用两角和的正弦公式直接求解.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，则有．
（2）.
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.
（2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，所以函数的周期为.
（2）由（1）知，，
在中，，有，于是，解得，则，
，
显然，，因此当，即时，，
所以的最大值为.
17．已知函数在区间上的最大值为3．
(1)求使成立的x的取值集合；
(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，根据最大值可求，再根据正弦函数的性质解不等式即可；
（2）由三角函数的图象变换可得，求出在上的对称轴，从而可求解.
【详解】（1），
因为，所以，所以，
所以，所以.
因为函数在区间上的最大值为3，所以,解得.
所以，由，可得，
故，解得.
故使成立的x的取值集合为.
（2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得，
再向右平移一个单位长度，可得.
因为，所以.令，得.
令，可得.故在上的对称轴为.
因为，所以.所以.
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期.
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求的面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为，再利用即可求出结果；
（2）先利用求出角，再结合余弦定理及基本不等式求解的最值，从而得到面积的最大值.
【详解】（1）由
，所以的最小正周期；
（2）因为，则，又因为，，
所以，解得，由余弦定理得，
得，当且仅当时等号成立，所以，
，即的面积的最大值为.
19．设函数．
(1)若存在，使得成立，求实数m的最大值；
(2)设函数，，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)11；(2).
【分析】（1）分离参数可得，.换元求出的最大值，即可得出答案；
（2）代入整理可得，.换元，原题可转化为在时有两个解.根据函数的单调性，作出函数在上的图象，根据图象，即可得出答案.
【详解】（1）由题意得，设，则．令，
显然函数在区间上为增函数，所以当时，函数取得最大值，
所以，m的最大值为11．
（2）由题知.
设，当时，函数为增函数，则.
若在有两个零点，
即在上有两个解，
由，得，.，且，
则.
因为，且，所以，所以，
所以，函数在上单调递减.同理可证函数在上单调递增.
则时，，又时，．作出函数在上的图象
根据函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点，满足题意．
因此，实数的取值范围是．