2025年苏高联盟初三数学中考一模试卷（含解析）

这是一份2025年苏高联盟初三数学中考一模试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了04， 计算， 因式分解等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1. 计算（ ）
A. 1B. C. 0D.
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. 正五边形B. 菱形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
3. 近日从国家统计局获悉，2024年，苏州全体居民人均可支配收入达到元，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
4. 抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛次，落地时有次点朝上，如果第次抛掷这枚骰子，那么点朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
9. －3的倒数是___________
10. 因式分解：__________．
11. 下列一组数据的中位数是________．
12. 不等式的解是________
13. 已知正六边形的边长为，则它的面积________．
14. 小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的图像，关于该图像下列四个说法：①图像与坐标轴有两个交点；②图像存在最高点，其横坐标为；③图像最高点和最低点的距离等于；④直线与该图像有两个交点．正确的是_______．
15. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________．
16. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为________．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．
17. 计算：
18. 解方程组：
19 先化简再求值：，其中．
20. 小明有四张颜色、形状、大小、质地都相同卡片，其中①号卡片正面印有“先忧后乐”字样；②号卡片正面印有“立己达人”字样；③号卡片正面印有“沧浪之水”字样；④号卡片正面印有“诚思信勇”字样，现将卡片的背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“沧浪之水”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后不放回，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片字样正好是“先忧后乐”和“诚思信勇”(不分先后)的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
21. 我校气象社团同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况．他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的众数为 °；极差为 °；
（2）若日平均气温在以下或以上的范围内(不包括和)为“非舒适温度”，请估计苏州今年4月份(共30天)日平均气温为“非舒适温度”的天数．
22. 请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
（1）如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
（2）如图2，矩形直尺一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径．
23. 苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为．
（1）求；
（2）求楼房的高度(结果保留根号)．
24. 如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接．
（1）求线段所在直线的解析式；
（2）若，求此时k的值．
25. 如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且
（1）求证：是的切线；
（2）若；
①求的长；
②求的长．
26. 如图，已知关于x的二次函数图像交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段．
（1）求的值；
（2）若点D恰好在二次函数的图像上，求此时m的值；
（3）过点B作的平分线交二次函数图像于点E，过点E作线段交x轴于点F，请直接写出 ．
27. 如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设．
（1）猜想的形状并证明；
取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示）
（2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内，
直接写出的范围 ；
计算的值．（结果用含的代数式表示）
答案与解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1. 计算（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形B. 菱形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B. 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D. 等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 近日从国家统计局获悉，2024年，苏州全体居民人均可支配收入达到元，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为，其中，为整数，正确确定的值是解题的关键．
根据，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛次，落地时有次点朝上，如果第次抛掷这枚骰子，那么点朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键．
直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，
抛六面体骰子次的结果不是概率，
抛六面体骰子有种情况，
点朝上的概率为，
故选：B．
5. 已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为4，则其底面圆半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的侧面展开图，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设圆锥底面圆半径为，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
根据题意得，
解得，
故选：B．
6. 已知反比例函数的图象和点如图所示，点坐标为，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
过点作轴，交反比例函数的图象于点，得到，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点，
，
点的横坐标为，设点的坐标为，
，
由图可知，
，
，
的值可能为，
故选：D．
7. 如图已知过外一点向作两条割线分别交于点和点，其中，，经测量得知，则弧的度数不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，由三角形外角的性质得到，继而得到，得出弧的度数不可能是，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
，
弧的度数不可能是，
故选：A ．
8. 如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识，先根据已知求得，，过O作于M，利用锐角三角函数和矩形的判定与性质分别求得，，在中，解利用锐角三角函数定义求得，进而求解即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，，
过O作于M，则，
∵将绕边中点O旋转，且，得到，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
9. －3的倒数是___________
【答案】
【解析】
【分析】乘积为1的两数互为倒数，即a的倒数即为（a≠0），符号一致．
【详解】∵－3的倒数是，
故答案为：．
10. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．掌握平方差公式是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 下列一组数据的中位数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中位数： 一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数）是这组数据的中位数，如果总共有奇数个数，则最中间的数是该组数据的中位数；如果总共有偶数个数，则中间两个数的平均数是这组数据的中位数．
根据中位数的定义即可得到答案．
【详解】解：一组数据按从小到大的顺序依次排列为，排在第三、四位的数是，
这组数据的中位数是，
故答案为：．
12. 不等式的解是________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
根据解一元一次不等式的方法解不等式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 已知正六边形的边长为，则它的面积________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形的计算问题，解直角三角形，设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数求得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设正六边形的中心是，一边是，如图，过作于，
，，，
，，
在中，，
∴，
∴该正六边形的面积为．
故答案为：．
14. 小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的图像，关于该图像下列四个说法：①图像与坐标轴有两个交点；②图像存在最高点，其横坐标为；③图像最高点和最低点的距离等于；④直线与该图像有两个交点．正确的是_______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，令解一元二次方程，并确定与y轴上的交点，可判断①；求得最大值和最小值可判断②，可取得最大值和最小值的对应点坐标，利用两点坐标距离公式可判断③；求得时对应的x值可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①令，由得，，
∵,
∴图像与x轴有一个交点，与y轴的交点为
∴该图像与坐标轴有两个交点；故①正确；
②由于，该图像开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当时，图像取得最大值，故②正确；
③由②知，最高点坐标为；
当时，该图像取得最小值，此时最低点坐标为，
∴图像最高点和最低点的距离等于，故③正确；
④当时，由解得，，但不在范围内，
∴直线与该图像有一个交点，故④错误，
综上，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
15. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、两点坐标距离公式、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解答的关键．先得到一次函数图像过定点，设切点坐标为，圆心为，根据切线定义、勾股定理以及两点坐标距离公式列方程求解即可．
【详解】解：对于，当时，，
∴一次函数图像过定点，
如图，设切点坐标为，圆心为，
则，，，
∴，
由勾股定理得，
则，
由①②解得，，
∴切点坐标为，，
故答案为：，．
16. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点E逆时针旋转，点D对应点F恰好落在斜边上，同时将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过F作于P，过G作于H，先得到，设，分别证明，得到，，则，利用勾股定理得到，利用二次函数的性质求得的最小值即可求解．
【详解】解：∵中，，，
∴，
由旋转性质得，，
过F作于P，过G作于H，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，，
则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理、旋转的性质等知识，利用二次函数的性质解决最值问题是解答的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．
17. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，涉及化简绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数，先计算绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得，
解得，
将代入得，
解得，
方程组的解为．
19. 先化简再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
20. 小明有四张颜色、形状、大小、质地都相同的卡片，其中①号卡片正面印有“先忧后乐”字样；②号卡片正面印有“立己达人”字样；③号卡片正面印有“沧浪之水”字样；④号卡片正面印有“诚思信勇”字样，现将卡片的背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的字样恰好为“沧浪之水”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后不放回，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片字样正好是“先忧后乐”和“诚思信勇”(不分先后)的概率．(请用树状图或列表的方法求解)
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是剪头的关键．
（1）根据概率公式计算即可；
（2）画树状图得到共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样正好是“先忧后乐”和“诚思信勇”的结果有种，用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，抽得卡片上的字样恰好为“沧浪之水”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设卡牌 “先忧后乐” “立己达人” “沧浪之水” “诚思信勇”依次为，
画树状图如下：
由树状图可知 ，共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片字样正好是“先忧后乐”和“诚思信勇”的结果有种，
两次抽取的卡片字样正好是“先忧后乐”和“诚思信勇”(不分先后)的概率为．
21. 我校气象社团的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况．他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的众数为 °；极差为 °；
（2）若日平均气温在以下或以上的范围内(不包括和)为“非舒适温度”，请估计苏州今年4月份(共30天)日平均气温为“非舒适温度”的天数．
【答案】（1）19；7
（2）估计苏州今年4月份(共30天)日平均气温为“非舒适温度”的天数约为10天
【解析】
【分析】本题主要考查众数、极差、样本估计总体，理解题意。看懂统计图是解答的关键．
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据可求得众数；根据极差是一组数据中最大值与最小值的差可求得极差；
（2）用样本中日平均气温在以下或以上的范围内(不包括和)的天数所占比例乘以4月份的天数即可．
【小问1详解】
解：∵气温是天数最多，
∴众数为，
极差为，
故答案为：19；7；
【小问2详解】
解：（天），
答：估计苏州今年4月份(共30天)日平均气温为“非舒适温度”的天数约为10天．
22. 请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
（1）如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点；
（2）如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理及90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
（1）连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
（2）将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径．
【小问1详解】
解：连接的对角线，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点．
点即为求作的点；
理由：中，，
，
四边形是平行四边形，
，同理，
是的中位线，
，
，
，
，
即点为的中点；
【小问2详解】
解∶ 将直尺一组邻边延长，与圆交于两点，连接即为圆的直径，
即为求作的；
理由：由题意，直尺的一个角为直角，
，
是圆的直径．
23. 苏州北寺塔，又称报恩寺塔，位于江苏省苏州市姑苏区人民路1918号，是一座九级八面砖身木檐混合结构的古塔．这座塔高76米，不仅是苏州古城的最高建筑，也是中国2000多座楼阁式宝塔中的典型代表．如图，北寺塔前有一座高为的5层楼房，点为连线上一点．某项目式学习小组在处测得塔顶部的仰角为，在楼房处测得塔顶部的仰角为，测得C处俯角也为．
（1）求；
（2）求楼房的高度(结果保留根号)．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设相交于点，根据题意得到，即可得到；
（2）先求出，再求出，得到，求出米．
小问1详解】
解：如图，设相交于点

，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
米，
，
，
米，
，
，
米，
24. 如图，已知点，以为边作等边三角形，点B在第一象限，点C是边上的动点，经过点C的反比例函数的图像与边交于点D，连接．
（1）求线段所在直线的解析式；
（2）若，求此时k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等边三角形的性质求得点B坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M，证明得到，结合锐角三角函数得到，，设，推导出，，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到，进而解方程求得x值即可解答．
【小问1详解】
解：过B作于H，
∵点，为等边三角形，点B在第一象限，
∴，，，
∴，
∴，
设线段所在直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
∴线段所在直线的解析式为；
【小问2详解】
解：过C作于H，过D作于N，过B作延长线于M，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，则；
∴，，
∴，
∴点D坐标为即，
∵点C、D都在反比例函数的图像上，
∴，
由，
解得，（与点B重合，舍去），
∴．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
25. 如图，是的直径，点是上一点，过点作弦于点，点是弧上一点，连接交于点，过点作直线交的延长线于，交的延长线于点，且
（1）求证：是的切线；
（2）若；
①求的长；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①，②
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，继而得到，即可得到结论；
（2）①连接，得到设，则，得到，利用勾股定理求出，得到；
②设的半径为，求出，得到，，求出，得到．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：①如图，连接，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则
，，
，
，
，
在中，
，
负值舍去 ，
；
②由①知，
设的半径为，
，
，
在中，
，
，
，
由（1）知是的切线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
26. 如图，已知关于x的二次函数图像交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段．
（1）求的值；
（2）若点D恰好在二次函数的图像上，求此时m的值；
（3）过点B作的平分线交二次函数图像于点E，过点E作线段交x轴于点F，请直接写出 ．
【答案】（1）4 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图像与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）先求得点A、B、C的坐标，进而求得、，利用正切定义求解即可；
（2）过D作轴于P，证明，利用全等三角形的性质求得点D坐标为，代入二次函数解析式中解方程即可求解；
（3）设与y轴交于点K，过K作于H，根据角平分线定义可得是等腰直角三角形，则，设，解直角三角形求得，则，求得；过E作轴于M，然后解直角三角形，分别求得，，进而可求解．
【小问1详解】
解：对于,
当时，，
∴，则；
当时，由解得，，
∴，，则，
∴；
【小问2详解】
解：过D作轴于P，则，
由旋转性质得，，且点D在第一象限，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点D坐标为，
∵点D恰好在二次函数的图像上，
∴，解得；
【小问3详解】
解：设与y轴交于点K，过K作于H，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，设，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
过E作轴于M，则，
∴，则；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
27. 如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设．
（1）猜想的形状并证明；
取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示）
（2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内，
直接写出的范围 ；
计算的值．（结果用含的代数式表示）
【答案】（1）为等腰直角三角形，证明见解析；，
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是正方形，得，，然后证明，故有，从而求证；
连接，由，则，再证明，故有，，，从而可得三点共线，则有，设，则，由勾股定理得，再根据即可求解；
（）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围；
过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解．
小问1详解】
解：是等腰直角三角形，理由，
如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∴
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：当时，有最小值，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即的最小值为，
当与重合时，有最大值，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
即，解得：，
∵点始终处在两平行直线，之间的区域内，
∴的范围是；
故答案为：；
如图，过作于点，
则，
∴，，
∴，，
由题意可知在平行得直线上运动，且，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．