安徽省淮南市田家庵区淮南第十九中学2024 -2025学年上学期九年级数学期中试题（解析版）-A4

这是一份安徽省淮南市田家庵区淮南第十九中学2024 -2025学年上学期九年级数学期中试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
2. 将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（ ）
A. 1，B. 1，2C. 1，3D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可．
【详解】解：∵，
∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式，
∴，，
故选：A．
3. 下列说法正确的有（ ）
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 平分弦的直径一定垂直于这条弦
C. 过圆心的线段是直径
D. 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．根据等弧的定义对A进行判断；根据垂径定理对B进行判断；根据直径的含义对C进行判断；根据圆的对称性对D进行判断．
【详解】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；
C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意；
D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
4. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（ ）
A. 85米B. 8米C. 10米D. 2米
【答案】B
【解析】
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．
【详解】解：当y＝0时，即，
解得：＝﹣2（舍去），＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
5. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 如图，点在上，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆的性质，连接，根据等边对等角得出，，由此即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
同理：，
∴．
故选：B．
7. 设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故C选项错误；
如图所示，若，则，
故B选项正确，D选项错误；
故选：B
8. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程．
【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，
∴名学生共赠贺卡为张，
由题意得：；
故选：D．
9. 函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过进行求解即可．
【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意；
C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意；
D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意；
故选：C．
10. 如图，在正方形中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边，按的路线以的速度移动．设的面积为单位：，运动时间为单位：，则关于的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解．
【详解】解：当点在上运动时，
则，函数图象为一次函数；
当点在上运动时，
则，
则，函数图象为二次函数；
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知：点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的特点，即横、纵坐标均互为相反数．先根据关于原点对称点的特点求得的值，然后代入计算即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，即，，
，
故答案为：2024．
12. 若a为方程的解，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得，将其变形与进行关联，即可求解．
【详解】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
13. 若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴，即，即，
∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
②当时，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当时，，即，
当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
∵，故此种情况无解；
综上①②③所述，得，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键．
14. 如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
【详解】解：中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明是直角三角形是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 用适当的方法解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．先移项，再提公因式即可求解．
【详解】解：
或
解得：，．
16. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式．
【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为，
把点代入得，
解得：，
∴这个二次函数解析式为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示:
（1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标；
（2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的．
【答案】（1）画图见解析;
（2）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形．
（1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标；
（2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到.
【小问1详解】
解:∵,,,
∴关于原点对称的点为:,,,
将三点连接,如下图所示:
∴；
【小问2详解】
解:∵,,,
∴将三点绕点B旋转后的坐标为,,
将三点连接,如下图所示:
．
18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答．
【详解】解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，直径垂直于弦，垂足为E，，．

（1）求的半径长；
（2）连接，作于点F，求的长．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【小问1详解】
解：连接，如图，设的半径长为r，
∵，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
【小问2详解】
解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．

20. 如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
（1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
（2）在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
（3）在图3中画：既中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画平行四边形ABCD，且面积为8；
（2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画矩形ABCD，且面积为10；
（3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画正方形EFGH，且各边长都是无理数，面积为10．
【小问1详解】
解：如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
【小问2详解】
如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
【小问3详解】
解：如图，四边形EFGH是所求作的图形，
由勾股定理可得：



∴四边形为正方形，面积为
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，无理数，勾股定理及其逆定理的灵活运用，二次根式的化简，本题掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求出长方形花圃的最大面积．
【答案】（1）
（2）长方形花圃的最大面积为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程．
（1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得；
（2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
设花圃的宽为，则，
，
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：∵，且，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，长方形花圃的面积最大，
最大面积为．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C、A的对应点分别为E、F，点E落在上，连接．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键．
（1）由三角形内角和定理，得到，再根据旋转的对应角相等求解即可；
（2）由勾股定理得，由旋转的性质得，，，进而得到，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴在中，．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点．
（1）求的值及点的坐标；
（2）如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1），；
（2）4，；
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：把和代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，解得：
∴点的坐标为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为：．
把代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则
，
，
∴当时，有最大值4，此时，
点的坐标为．
【小问3详解】
解：由题意，得，
抛物线的对称轴为直线，
，
当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示：
点在抛物线的对称轴直线上，
，
，
，即，
点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点，
则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点；
当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示：
设抛物线的对称轴直线与轴交于点，
点在抛物线的对称轴直线上，
，
，即，
点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点，
则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点，
综上所述，点的坐标为或．