2023-2024学年安徽省淮南市田家庵区龙湖中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市田家庵区龙湖中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 长度相等的弧是等弧B. 圆的每一条直径都是它的对称轴
C. 直径如果平分弦就一定垂直弦D. 直径所对的孤是半圆
3.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+x+k2−4=0有一个根是0，则k的值是( )
A. −2B. 2C. 0D. −2或2
4.将抛物线y=−12x2向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. y=−12(x+3)2+4B. y=−12(x−3)2+4
C. y=−12(x−3)2−4D. y=−12(x+3)2−4
5.当b+c=2时，关于x的一元二次方程x2+bx−c=0的根的情况为( )
A. 有两个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
6.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为( )
A. 2 5B. 5C. 2 13D. 13
7.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′/​/AB，则∠BAB′=( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 50°
8.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=−mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，A点坐标(0,4)，B为x轴上一动点，将线段BA绕点B沿顺时针方向旋转90度得到BC，连接OC，线段OC的最小值是( )
A. 4
B. 4 2
C. 2 2
D. 2 3
10.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6 2，点E，F是边BC上与点B，C不重合的两点，∠EAF=45°，BE=3，则△ABE与△AFC面积之和为( )
A. 36B. 21C. 30D. 22
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.点P(2,−1)关于原点的对称点坐标为P′(m,1)，则m= ______ ．
12.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为______．
13.已知ab≠0，且a2−3ab−4b2=0，则ab的值为______ ．
14.如图，抛物线y=−12x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，已知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接PB，PC．
(1)点P的坐标为______ ．
(2)若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当△BPM是等腰直角三角形时，点M的坐标为______ ．
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
15.已知关于x的方程x2−(m−3)x+m−4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．
16.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，CD=2，求EC的长．
四、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程
(1)4(x−3)=2x(x−3)；
(2)x2−4x−7=0．
18.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=−x2+mx+3经过点M(−2,3)。
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当−3≤x≤0时，直接写出y的取值范围。
19.(本小题8分)
在由小正方形组成的5×5的网格中，3个顶点均在格点上的小正方形组成如图所示的图形，按下列要求在各网格图中补上一个小正方形(顶点在格点上)．

(1)使图1成为轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使图2成为中心对称图形但不是轴对称图形．
(3)使图3成为既是轴对称图形又是中心对称图形．
20.(本小题10分)
如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=−16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m.
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
21.(本小题12分)
小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
22.(本小题12分)
△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，它们交于D点，
①求证：BE=CF．
②当α=120°，求∠FCB的度数．
③当四边形ACDE是菱形时，求BD的长．
23.(本小题14分)
如图，抛物线y=x2+4x+3交x轴于A，B两点(A在B左侧)，交y轴于点C.已知一次函数y=kx+b的图象过点A，C．
(1)求抛物线的对称轴和一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx+b>x2+4x+3的x的取值范围；
(3)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧，本选项不符合题意；
B、圆的每一条直径都是它的对称轴，错误，应该是圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴．本选项不符合题意；
C、直径如果平分弦就一定垂直弦，错误，此弦非直径，本选项不符合题意；
D、直径所对的孤是半圆，正确，本选项符合题意．
故选：D．
根据等弧，垂径定理，轴对称图形，半圆等知识一一判断即可．
本题考查垂径定理，等弧，半圆，轴对称图形等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】A
【解析】解：把x=0代入(k−2)x2+x+k2−4=0得：
k2−4=0，
解得k1=2，k2=−2，
而k−2≠0，
所以k=−2．
故选：A．
先把x=0代入(k−2)x2+x+k2−4=0得k2−4=0，解关于k的方程得k1=2，k2=−2，然后根据一元二次方程的定义可确定k的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−12x2向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为y=−12(x+3)2+4，
故选：A．
根据二次函数图象的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减．
本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移规律是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵b+c=2，
∴c=2−b，
∴Δ=b2−4×(−c)=b2+4(2−b)=(b−2)2+4>0，
∴方程有两个不相等实数解．
故选：B．
利用c=2−b得到Δ=(b−2)2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】A
【解析】【分析】
先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．
此题考查了垂径定理，用到的知识点是垂径定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
【解答】
解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=12OP=2，
∵OB=3，
∴BC= OB2−OC2= 32−22= 5，
∴AB=2 5．
故选A．
7.【答案】C
【解析】解：∵CC′//AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．
故选：C．
旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
8.【答案】D
【解析】解：A、由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=−mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m<0，对称轴为x=−b2a=−2−2m=1m<0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m>0，即函数y=−mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=−mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−b2a=−2−2m=1m<0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．对称轴为x=−b2a，与y轴的交点坐标为(0,c)．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】C
【解析】解：设B(m,0)，
①当m≥0时，则OB=m，
作CD⊥x轴于点D，如图：
∵∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
在△ABO于△BCD中，
∠AOB=∠BDC=90°∠BAO=∠CBDAB=BC，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴BD=OA=4，CD=OB=m，
∴OD=OB+BD=m+4，
∴OC2=OD2+DC2=(m+4)2+m2=2m2+8m+16=2(m+2)2+8，
∵2>0，对称轴为m=−2，
∵m≥0，
∴当m=0时，OC2最小，最小为16，
∴OC最小为4，
②当m<0时，则OB=−m，作CD⊥x轴于点D，如图：
同理可证△ABO≌△BCD(AAS)，
∴AO=BD=4，CD=OB=−m，
∴OD=4+m，
∴OC2=OD2+CD2=(4+m)2+m2=2(m+2)2+8，
∵2>0，对称轴为m=−2，
∵m<0，
∴当m=−2时，OC2最小，最小为8，
∴OC最小为2 2，
故选：C．
设B(m,0)，分m≥0和m<0两种情况，作CD⊥x轴于点D，然后通过△ABO≌△BCD得出BD和CD，再根据勾股定理得出OC关于m的函数关系，在根据函数的性质去求OC的最小值．
本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
10.【答案】B
【解析】解：过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AC于点G，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC=6 2，
∴∠B=∠C=45°，BC= 2AC=12，
∴△BEH，△FGC分别是等腰直角三角形，
∴BH=EH= 22BE=3 22，FG=GC= 22FC，
∴AH=9 22，
∴在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE2=EH2+AH2=45，
∵BE=3，∠EAF=45°，
∴∠C=∠EAF=45°，EC=BC−BE=9，
∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴AEEC=EFEA，
∴AE2=EF⋅EC=(9−FC)×9=81−9FC=45，
∴FC=4，
∴FG=2 2，
∴S△ABE+S△AFC=12AB⋅EH+12AC⋅FG=21；
故选：B．
过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AC于点G，由题意易得∠B=∠C=45°，BC= 2AC=12，则有BH=EH= 22BE=3 22，FG=GC= 22FC，然后可得△AEF∽△CEA，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：∵点P(2,−1)关于原点的对称点坐标为P′(m,1)，
∴m=−2，
故答案为：−2．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】3 2
【解析】【分析】
此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．由旋转的性质得到AD=EF，AB=AE，再由DE=EF，等量代换得到AD=DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．
【解答】
解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，
∵DE=EF，
∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE= 32+32=3 2，
则AB=AE=3 2，
故答案为：3 2
13.【答案】−1或4
【解析】解：(a−4b)(a+b)=0，
a−4b=0或a+b=0，
所以a=4b或a=−b，
当a=4b时，ab=4；
当a=−b时，ab=−1，
所以ab的值为−1或4．
故答案为−1或4．
把a2−3ab−4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=−b，然后利用分式的性质计算ab的值．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
14.【答案】(2,4) (1,1)
【解析】解：(1)由题意令y=0，
∴y=−12x2+x+4=0．
∴x=−2或x=4．
∴A(−2,0)，B(4,0)．
又令x=0，
∴y=4．
∴C(0,4)．
又∵抛物线为y=−12x2+x+4，
∴对称轴为直线x=1．
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为P，
∴P(2,4)．
故答案为：(2,4)；
(2)点M在PC的垂直平分线上，M在第一象限，
∴可设M(1,m)(m>0)．
∵△BPM是等腰三角形，
∴分以下三种情形．
由点M、B、P的坐标得，MB2=9+m2，BP2=4+16=20，MP2=1+(m−4)2，
当BM=BP时，MP为斜边，
即9+m2=20且MP2=1+(m−4)2=20×2，
方程无解；
当BM=PM时，则BP为斜边，
9+m2=1+(m−4)2且9+m2+1+(m−4)2=20，
解得：m=1，
即点M(1,1)；
当BP=MP时，则BM为斜边，
即20=1+(m−4)2且9+m2+20=1+(m−4)2，
方程无解；
综上，M(1,1)；
故答案为：(1,1)．
(1)依据题意，分别令y=0，x=0，可求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再点C关于抛物线对称轴的对称点为P，可得P(2,4)；
(2)点M在PC的垂直平分线上，M在第一象限，进而可设M(1,m)(m>0)，然后根据△BPM是等腰三角形，进行分类讨论可以得解．
本题为二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形的性质等，分类求解是本题解题的关键．
15.【答案】(1)证明：Δ=(m−3)2−4(m−4)
=m2−10m+25
=(m−5)2，
∵(m−5)2≥0，即Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)x=m−3±(m−5)2，得x1=m−4，x2=1，
∵方程有一个根大于4且小于8，
∴4∴8【解析】(1)先计算判别式的值得到Δ=(m−5)2，利用非负数的性质得Δ≥0，然后根据判别式的意义判断根的情况；
(2)利用求根公式解方程得到x1=m−4，x2=1，再利用方程有一个根大于4且小于8得4本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
16.【答案】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×8=4，
设AO=x，则OC=OD−CD=x−2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+(x−2)2，解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= CB2+BE2= 42+62=2 13．
【解析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=4，设AO=x，则OC=OD−CD=x−2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+(x−2)2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．
17.【答案】解：(1)∵4(x−3)=2x(x−3)，
∴4(x−3)−2x(x−3)=0，
则(x−3)(4−2x)=0，
∴x−3=0或4−2x=0，
解得x1=3，x2=2；
(2)∵x2−4x−7=0，
∴x2−4x=7，
则x2−4x+4=7+4，即(x−2)2=11，
∴x−2=± 11，
∴x1=2+ 11，x2=2− 11．
【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18.【答案】解：(1)把M(−2,3)代入y=−x2+mx+3得：
−4−2m+3=3，
解得m=−2，
∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)；
(2)∵y=−(x+1)2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=−3时，y=0，
∴当−3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【解析】(1)把点M(−2,3)代入y=−x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
(2)分别确定自变量为0和−3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解。
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题。
19.【答案】解：(1)如图所示：(答案不唯一)

(2)如图所示：(答案不唯一)
(3)如图所示：(答案不唯一)
【解析】(1)在右边两个正方形右上侧画一个正方形，则构成的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)在左边一个正方形上侧画一个正方形，则构成的图形是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)在左边一个正方形下侧画一个正方形，则构成的图形是轴对称图形又是中心对称图形．
本题考查了轴对称图形、中心对称图形的概念，熟练掌握利用其概念画图是解决此题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3,172)，
把B(0,4)，C(3,172)代入y=−16x2+bx+c得
c=4−16×32+3b+c=172
解得b=2c=4．
所以抛物线解析式为y=−16x2+2x+4，
则y=−16(x−6)2+10，
所以D(6,10)，
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，
当x=2或x=10时，y=223>6，
所以这辆货车能安全通过．
【解析】(1)先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
(2)由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
21.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
12k+b=50014k+b=400，得k=−50b=1100，
即y与x之间的函数关系式为y=−50x+1100；
(2)由题意可得，
w=(x−10)y=(x−10)(−50x+1100)=−50(x−16)2+1800，
∵a=−50<0
∴w有最大值
∴当x<16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x=15时，w有最大值，
∴w=−50(15−16)2+1800=1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
(2)根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22.【答案】①证明：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴AB=AC=AE=AF，
∠EAF+∠FAB=∠BAC+∠FAB，即∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
AE=AF∠EAB=∠FACAB=AC，
∴△AEB≌△AFC(SAS)，
∴BE=CF；
②解：∵α=120°，
∴∠FAC=120°，
而AF=AC，
∴∠ACF=30°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠BCF=67.5°−30°=37.5°；
③解：∵四边形ACDE是菱形，
∴AC/​/DE，DE=AE=AC=1，
∴∠ABE=∠BAC=45°，
又∵AE=AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE= 2AB= 2，
∴BD=BE−DE= 2−1．
【解析】①先利用旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则根据“SAS”证明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；
②利用∠FAC=120°，AF=AC可得到∠ACF=30°，再利用AB=AC，∠BAC=45°得到∠ACB=67.5°，然后计算∠BCF；
③利用四边形ACDE是菱形得到AC/​/DE，DE=AE=AC=1，则∠ABE=∠BAC=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE= 2AB= 2，然后计算BE−DE即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．
23.【答案】解：(1)∵y=x2+4x+3=x2+4x+4−3=(x+2)2−3，
∴抛物线的对称轴是直线x=−2，
令y=x2+4x+3=0，
解得x1=−3，x2=−1，
∴点A坐标为(−3,0)，点B坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,3)，
设一次函数的解析式为y=kx+b，
则−3k+b=0b=3，
解得k=1，b=3，
∴一次函数解析式为y=x+3；
(2)根据图象可知，当−3x2+4x+3；
(3)存在点P，共有三种情况：
如图1，当P点在第一象限时，

PC/​/AB，且AB=PC，
∵AB=2，
∴PC=2，
∵点C坐标为(0,3)，
∴点P坐标为(2,3)；
如图2，当点P位于第二象限时，

PC/​/AB，且AB=PC，
∵AB=2，
∴PC=2，
∵点C坐标为(0,3)，
∴点P坐标为(−2,3)；
如图3，当点P位于第三象限时，

∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP/​/BC，AP=BC，
∴线段AP可以看成BC向下平移3个单位向左平移3个单位得到，
∵点B坐标为(−1,0)，
∴点P坐标为(−4,−3)；
综上所述，点P坐标为(2,3)或(−2,3)或(−4,−3)．
【解析】(1)首先把y=x2+4x+3化成顶点坐标式，即可求出抛物线的对称轴，求出点A、点C的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)分别讨论点P在第一象限、第二象限以及第四象限三种情况，利用平行四边形的特征求出点P的坐标．
本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到二次函数的性质、直线与抛物线的交点问题、平行四边形的判定与性质等知识，解答此题需要根据平行四边形的特征进行分类讨论，此题难度不大．销售单价x(元)
12
14
16
每周的销售量y(本)
500
400
300