安徽省淮南市田家庵区淮南实验中学2024—2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省淮南市田家庵区淮南实验中学2024—2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 某快递公司2017年“双十一”与2019年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据2019年“双十一”期间完成投递的件数=2017年“双十一”期间完成投递的件数列方程即可．
【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为，由题意得出，．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解题的关键．
3. 如图，内接于，且的半径为2，若，则为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．连接，，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得，又，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
5. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
6. 如图，等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，，则的周长是（ ）
A. 9B. 5C. 7D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定；找出旋转角推出是等边三角形是解题关键．
根据旋转的性质得是等边三角形；得，即可求的周长．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由旋转知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为：
，
故选：A．
7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与轴的交点坐标为B. 的最小值为
C. 当时，的值随值的增大而减小D. 图象的对称轴在轴的右侧
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴当时，，故选项A错误，
当时，y取得最小值，此时，故选项B正确，
当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项D错误，
故选：B．
8. 如图，的内切圆与分别相切于点，连接，，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由题意，先利用勾股定理求出的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
在中，，，，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则，
∵的内切圆与分别相切于点，
∴，，
∴四边形CEOF是正方形；
∴，
由切线长定理，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
∴阴影部分的面积为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
9. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论正确的是 ．
A. △AOE的内心与外心都是点GB. ∠FGA＝∠FOA
C. 点G是线段EF的三等分点D. EF＝AF
【答案】ABC
【解析】
【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：ABC．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
10. 如图，矩形中，，，为中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，中位线定理，勾股定理，根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点与点重合时，点在处，，此时为中点，
当点与点重合时，点在处，，此时为中点，
∴是中位线，
且，
当点在上除点、的位置时，为中点，
∴是中位线，是中位线，
，，
∴点在线段上，
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值，
矩形中，，，为的中点，为中点，
∴，，
、、等腰直角三角形，
，，
∵，
，
，
，即，
的最小值为的长，
在等腰直角中，，
的最小值是．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，共20分.
11. 若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，
∴b=-3，a-2=-a，
∴a=1，
∴a+b=-2．
故答案是：-2．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键．
12. 如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，先计算，再利用计算即可．
【详解】解：∵，，，
，
圆锥的侧面积，
故答案为：．
13. 一个不透明的袋于子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回袋子里，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意，先列出表格，再计算出两次摸出的球所标数字之和为6的概率即可．
【详解】解：列表如下所示，
由上可得，一共有种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有3种，
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为，
故答案为：．
14. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′==，
S扇形BCB′==，
则线段AB扫过的图形的面积为=，
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
三、计算题：本大题共2小题，共16分.
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，先利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
∴或，
∴，．
16. 足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【答案】（1）
（2）球不能射进球门
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解．
【小问1详解】
解： ，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，
，
球不能射进球门．
四、解答题：本题共7小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图—旋转变换与轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质．
18. 如图，宽为、长为的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积为，求铺设的石子路的宽度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设铺设的石子路的宽度为，再列式计算出结果即为本题答案．
【详解】解：设铺设的石子路的宽度为，
∵宽为、长为的矩形花坛，种植花卉的面积为，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴铺设石子路的宽度为．
19. 如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，结合得出，再利用垂线的定义和三角形内角和定理得出，即可得证；
（2）先利用勾股定理得出，过点作于点，证明求出，，再由勾股定理得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
，
，即，
，，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：在中，
，，
，
过点作于点，如图，
，，
，
，即，
解得：，，
在中，，
，
，即，
解得．
20. 某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了如下不完整的统计图表．
学生平均每天阅读时长情况统计表
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ；
（2）该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率．
【答案】（1）100，30
（2）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，
（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出a的值；
（2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【小问1详解】
解：∵组的人数为25，占比为，且，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵组占比，，
∴，
故答案为：100，30；
【小问2详解】
解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即A和D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）．
21. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【答案】（1）1：2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．
（2）根据求解即可．
【小问1详解】
由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：
．
∴．
∴，ED与母线AD长之比为
【小问2详解】
∵
∴
答：加工材料剩余部分的面积为
【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22. 如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接为的中点，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由是直角三角形的中线，可得，然后通过即可求得．
（2）延长交于G，在上截取，证出从而证得，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得，即可求得．
【小问1详解】
证明：如图①，
∵，，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：成立，理由如下：
如图②，延长交于G，在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质等．作出正确的辅助线是解题关键．
23. 抛物线（，，是常数，）与轴交于A，B两点，与轴交于点，三个交点的坐标分别为，，．
（1）求抛物线对应的函数解析式及顶点的坐标．
（2）如图，若为线段上的一个动点（不与点B，D重合），过点P作轴于点，连接，，求四边形的最大面积和此时点的坐标．
（3）若是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作，交轴于点．当点的坐标为 时，四边形是平行四边形．
【答案】（1），D1,4
（2），；
（3）2,3
【解析】
【分析】（1）把，，代入，再建立方程组求解解析式，再化为顶点式解题即可；
（2）先求解直线的解析式为，求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形的面积加上的面积可得函数关系式，求得面积的最大值；
（3）要使四边形是平行四边形只要即可，利用二次函数的对称性可得答案．
【小问1详解】
解：把，，代入，得
，
解得，
∴；
∴抛物线的顶点D1,4；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，将点、点D1,4的坐标代入得
，解得，
所以直线的解析式为
设，而，．
由题意可知：
∴，，．
∴
．
∵，
∴当时，；
∴；
故四边形的最大值为，点P的坐标为．
【小问3详解】
解：如图，过点作，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴关于抛物线对称轴直线对称，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键．
和
1
2
3
4
1
2
3
4
平均每天阅读时长
人数
20
25
15
10