安徽省淮南市多校联考2024—-2025学年上学期九年级数学期末试卷 （解析版）-A4

这是一份安徽省淮南市多校联考2024—-2025学年上学期九年级数学期末试卷 （解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 下列两个图形一定相似的是， 成语“守株待兔”表示等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列两个图形一定相似的是( )
A. 两个矩形
B. 两个等腰三角形
C. 两个五边形
D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似多边形的判定方法依次进行判断即可.
【详解】解：A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
D．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．
故选：D.
【点睛】此题主要考查相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似多边形的判定方法.
2. 若反比例函数的图像分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得，进行计算即可得．
【详解】解：∵函数的图像两支分布在第二、四象限内，
∴，
解得，
故选：C．
【点晴】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质：反比例函数的图像是双曲线；当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3. 成语“守株待兔”表示（ ）
A. 随机事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 确定事件
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得．
【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故选：A．
4. 已知A、B两地的实际距离AB=5km，画在图上的距离=2cm，则该地图的比例尺为（ ）
A. 2:5B. 1:2500C. 1:250000D. 250000:1
【答案】C
【解析】
【详解】∵5千米=500000厘米，
∴比例尺=2:500000=1:250000；
故选：C.
5. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和平行四边形的综合题，根据题意得出点的纵坐标相同，表示出的值是解题的关键．
根据题意得出点的纵坐标相同，设点的纵坐标为，即可得到点的横坐标，进而得出的值，再利用平行四边形面积公式计算即可求解．
【详解】解：轴，
点的纵坐标相同，
设点的纵坐标为，
，
即点的横坐标为，
同理可得：点的横坐标为，
，
，
故选：B ．
6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 其图象经过点B. 其图象分别位于第一、三象限
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、当时，，
此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意；
B、∵，
此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；
C、∵，
当时，y随着x增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
D、当时，，
当时，，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
7. 已知三点都在反比例函数的图象上，且，则大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值判断增减性即可得出结论．
【详解】解：由题意反比例函数中，，
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在各个象限内，y随x的增大而增长，
∵，
∴在第二象限，在第四象限，
∴，
故选：B
8. 如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，与的比叫做黄金比，其比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，设，，则，代入求出即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：设，，则，
∵，
∴，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴，
∴，
故选：．
9. 如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、三角形的内角和定理．利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案．
【详解】解：点为外心，，
，
，
点为的内心，
，
，
故选：A．
10. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴，
∴，，
∴反比例函数的图象必在一、三象限，
一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，掌握设k法是解题的关键．
由题意可设，，再代入求值即可．
【详解】解：由可设，，
∴，
故答案为：．
12. 为了更好地落实“双减”政策，学校设置了以实践探究为主的个性化作业．如图是某学生设计的电路图，随机闭合开关，，中两个，能让灯泡发光的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
详解】解：列表如下：
共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有4种情况，
则能让灯泡发光的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
14. 如图，矩形中，，动点P在上（可与点B、点C重合）移动，

（1）记，则x的取值范围是______；
（2）点D到直线的距离记为y，则y关于x的函数解析式为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、矩形的性质，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
（1）连，利用勾股定理求出，由题意求出x的取值范围．
（2）记边上的高为，矩形性质得到，，证明，利用相似三角形的性质，得到y与x的函数解析式．
【详解】（1）连，
由矩形中，，
可知，
由题意可知，点P上分别与点B、点C重合时，x分别取最小值3和最大值5，
故答案为：；
（2）如图，设边上的高为，
由题意，矩形中，，
，
∵，
∴，
故答案为：．
三．（本题共9小题，共90分）
15. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，设代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
16. 已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键．
根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可．
【详解】解：设，，则
时，；时，
，
解得，
∴y关于x的函数关系式是．
17. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中确定一点D，连结，使与全等；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使；
（3）在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使，且相似比为1∶2．
【答案】（1）图见详解
（2）图见详解 （3）图见详解
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（2）根据相似三角形的判定作出图形即可；
（3）作出，的中点，即可．
【小问1详解】
解：如图①中，点，点，点即为所求；
【小问2详解】
解：如图②中，点即为所求；
【小问3详解】
解：如图③，点，点即为所求．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18. 已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想．
【答案】；见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出．
【详解】证明：．
由勾股定理，
，
∴，
∴．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点．
（1）求反比例函数的解析式与点坐标；
（2）求的面积；
（3）在第一象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，写出自变量的取值范围．
【答案】（1）反比例函数解析式为：y=；B点坐标为（4，1）．
（2）．
（3）0＜x＜1或x＞4．
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入一次函数解析式，即可求出A的坐标，再将A的坐标代入反比例函数求出k的值，联立一次函数和反比例函数，解出结果，B点坐标就可以求出来了．
（2）△AOB的面积等于过点A、B向x轴所作垂线所形成的梯形的面积，求出该梯形面积即可．
（3）根据图象，反比例函数与一次函数的交点关系，可找出一次函数在下，反比例函数在上时x的取值范围．
【小问1详解】
将A（1，n）代入一次函数中得：n=-1+5=4，
∴A点坐标为（1，4），
再将A点坐标代入反比例函数解析式得：k=4，
∴反比例函数解析式为：y=，
∴解得或，
∴B点坐标为（4，1）．
【小问2详解】
如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D
由图可知，S△AOB=S梯形ABDC
∵A（1，4）B（4，1）
∴S△AOB=（1+4）×（4-1）÷2
=．
【小问3详解】
观察图象可知一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞4．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的解析式、图象相交的有关问题和反比例函数与几何的面积问题．解答本题的关键在于求出一次函数与反比例函数的交点坐标，结合图象即可求解．
20. 在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物释放过程中，y与x成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物燃烧到释放过程中，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低到0.45毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？
【答案】（1）；（2）240分钟
【解析】
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（12，9）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点（12，9）代入即可；
（2）把y≤0.45代入反比例函数解析式，求出相应的x的值即可．
【详解】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入为，
解得，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入为，
解得．
所以药物燃烧时关于的函数关系式为，药物燃烧后关于的函数关系式为；
（2）结合实际，令中，，
解得．
即从药物燃烧开始，至少需要经过240分钟后，学生才能进入教室．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
21. 如图，ΔABC是的内接三角形，，弦交于点，连接.

（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得出，最后根据等量代换即可得；
（2）结合题（1）的结论，推出，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）
又（圆周角定理）
；
（2）由（1）得：，即
又
又
故AB的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），正确找到两个相似的三角形是解题关键．
22. 正方形边长为4，M、N分别是上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）求梯形的面积最大时，点M的位置．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为10
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识，
（1）根据正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到．即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，则，根据梯形面积得到二次函数解析式；
（3）根据二次函数的性质得到答案即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
．
在中，，
．
∴．
【小问2详解】
，
，即，
，
【小问3详解】
∵，
∴y有最大值，且当时，y取得最大值，最大值为．
即当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为．
23. （1）如图①，弦和相交于内一点P，求证：；
（2）如图②，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．求证：；
（3）如图③，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．且为的直径，已知，弧弧，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键．
（1）连接、，根据同弧所对的圆周角相等可证得，得比例式即可得结论；
（2）连接、，证得，得比例式即可得结论；
（3）连接、，由，得，进而可证明，得，即，由（2），即可求解．
【详解】（1）证明：连接、，
由圆周角定理，
又，
，
．
（2）证明：连接、，
由圆周角定理，
又，
，
．
（3）连接、．
，
；
又，
，
，
，即．
由（2），
．即
．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）