安徽省安庆市第二中学(南区)2023-2024学年九年级上学期月考(二)数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市第二中学(南区)2023-2024学年九年级上学期月考(二)数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试范围：九年级上册：考试时间：120分钟
注意事项：
1，答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，每题4分）
1. 下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如（，其中、为常数）的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：A、当时，原函数化为：，则不是二次函数，故不符合题意；
B、，是一次函数，故不符合题意；
C、是二次函数，故符合题意；
D、，，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
2. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可．
【详解】解：由抛物线，可知：
，抛物线开口向上，因此A选项正确；
抛物线的对称轴为直线，因此B选项正确；
当时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是，因此C选项正确；
因为，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，因此时，y随x的增大而增大，因此D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3. 二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线图象，得到，，，即可判断出答案．
【详解】解：根据抛物线图象，开口向上，即；与轴交于负半轴，故；对称轴在轴正半轴，即，所以；
∵中，，，∴排除A、B选项；
∵，，，∴，故排除C选项；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本题的关键．
4. 已知二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点，分别求解不等式取公共解即可．
【详解】依题意得：
，
解得，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数得概以及函数图像与坐标轴交点得判别；解题得关键是掌握概念和与x轴有交点得判别．
5. 爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）

A. 58JB. 159JC. 1025JD. 1732J
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
6. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理经理求出，再根据正弦的定义，即可进行解答．
【详解】解：如图：
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求已知角的正弦值，解题的关键是掌握正弦的定义，构造直角三角形求解．
7. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是
A. x1＝1，x2＝－1B. x1＝1，x2＝2
C. x1＝1，x2＝0D. x1＝1，x2＝3
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，
∴．∴．故选B．
8. 图1是装了液体高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
9. 如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A. 3B. -3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，

∵
∴
∴
∴

∵平分

∴
∴
∴为等腰直角三角形，

∵分别为的中点，

故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分）
11. 已知，则的值等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例基本性质，先根据，化简得，再代入，即可作答．
【详解】解：因为，
所以，
则，
故答案为：．
12. 一个菱形的面积为，它的两条对角线长分别为，则与之间的函数关系式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式．
【详解】解：由题意得：，可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式．
13. 如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进米到点，又测得楼顶的仰角为，则该高楼的高度大约为________米．（结果可保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】设AB=x米，则在Rt△ABC中可得AB=BC=x米，BD=（x+60）米，在Rt△ABD中可得tan30°=，即可得关于x的方程，然后求解方程即可得解.
【详解】设AB=x米，由题意可知：BC=x米，CD=60米，∠D=30°，
在Rt△ABD中，tan30°=，
即，
解得x=.
故答案为.
【点睛】本题考查解直角的应用-仰角俯角问题，特殊角的三角形函数值，解此题的关键在于设出未知数，然后利用公共边列出方程.
14. 已知在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，于点G，则______，的最大值为______．

【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用两角对应相等证明和，推出是等腰三角形，利用三线合一的性质可求得；设，，证明，求得，代入得到，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，平分，
∴，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又，
∴，
∴；
设，，
同理，
∴，
∴，
∴，，
∴，
令，
则原式，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空压轴题．
三、（本大题共4小题，每题8分）
15. 计算：°+°
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．
【详解】原式=
=，
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．
16. 如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可.
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故钟塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
17. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．
【答案】（80﹣160）cm．
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在小方格的格点上．
（1）点A的坐标是 ；点C的坐标是 ；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，请在网格中画出△A1B1C1；
（3）△A1B1C1的面积为 ．
【答案】（1）（2，8），（6，6）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）直接利用已知点位置即可得出各点的坐标；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可画出△A1B1C1；
（3）根据三角形面积求法即可得出答案．
【详解】解：（1）由平面直角坐标系中△ABC位置得：
点A的坐标是：（2，8）；点C的坐标是：（6，6）；
故答案为（2，8），（6，6）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（3）∵A1（1，4），B1（0，3），C1（3，3）
∴△A1B1C1的面积为：×3×1＝．
故答案为.
【点睛】本题考查位似变换以及三角形面积求法，解题的关键是正确得出对应点位置．
四、（本大题共2小题，每题10分）
19. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
（1）求步道的长度（精确到个位）；
（2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
【答案】（1）283米
（2）经过点到达点较近
【解析】
【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
【小问1详解】
解：过作的垂线，垂足为，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，
∴四边形ACHE是矩形，
∴米，
根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米，
∴（米）；
【小问2详解】
解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，
∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），
∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入一次函数，得，
解得，
，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：令，解得或，
当时，，即，
当时，，
，
；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
五、（本大题共12分）
21. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）的最高点坐标为，，；
（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
【小问2详解】
解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
六、（本大题12分）
22. 已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）．
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】（1）证明见解析；（2）k≤1；（3）2
【解析】
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明；
（2）由于二次函数的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
【详解】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵△=（k﹣3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2均为正，
∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜．
则k的最大整数值为2．
【点睛】本题是一元二次方程与二次函数的综合，考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
七、（本大题共14分）
23. 【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【变式求异】
（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；
（3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图1，作于点N，如图所示：

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵， ，
∴，
∴．
∵，
∴，
如图2，作于点N，

∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．