专题12高斯求和-小升初数学模块化思维提升（人教版）练习含答案

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、高斯求和公式就是等差求和公式：Sn=
2、解题思路。
先观察数据的变化趋势，然后套用高斯求和公式．
【典例一】你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么的结果是
A．100000B．499000C．499500D．500000
【分析】算式中的加数构成一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为999，项数为999．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和（首项末项）项数．
【解答】解：
，
，
．
故选：．
【点评】高斯求和其它相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差．
【典例二】幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具上都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？
【分析】分析题意可知，此题为等差数列，回忆高斯求和公式；此题是求首项，公式为：首项末项（项数公差；末项是98，项数是32，公差是3，代入公式计算即可。
【解答】解：
（号
答：第一个小朋友手上的玩具是5号。
【点评】本题考查了高斯求和公式的灵活运用。
【典例三】小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进十个盒子，每个盒子里都有棋子且每个盒子中的棋子数各不相同．”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到．”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？说说你的理由．
【分析】假设正好放进十个盒子，每个盒子里都有棋子且每个盒子中的棋子数各不相同，设这些围棋子的个数是一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为10，项数为10．因根据高斯求和公式：等差数列和（首项末项）项数求出需要的个数，再和54比较即可．
【解答】解：因为，
（个
，说明54粒棋子少了，
所以，小糊涂所说的情况肯定办不到．
【点评】高斯求和其它相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差．
一．选择题（共3小题）
1．的和为
A．135B．145C．155D．165
【分析】根据高斯求和公式：数列和（首项末项）项数解答即可。
【解答】解：
故选：。
【点评】高斯求和相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差，数列和（首项末项）项数。
2．与表示相同结果的算式是
A．B．C．
【分析】用结合律把前5个数相加，用高斯求和定理求出和，后3 个数相加，再把它们的和相加，其结果可得。
【解答】解：
故选：。
【点评】灵活地运用运算定律，熟悉乘方的意义是解决不同的关键。
3．的计算结果是
A．2311B．2321C．2331
【分析】，是从101到121连续的21个自然数的和，是第一个自然数加上最后一个自然数求出和，然后乘自然数的个数，再除以2即可。
【解答】解：
故选：。
【点评】解决本题利用高斯求和的方法解决问题。
二．填空题（共7小题）
4．小花猫第1天抓了1只老鼠，第2天抓了2只老鼠，它每天抓的老鼠都比前一天多1只。小花猫连续10天一共抓了 55 只老鼠。
【分析】算式中的加数构成一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为10，项数为10；因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和（首项末项）项数。
【解答】解：
（只
所以小花猫连续10天一共抓了55只老鼠。
故答案为：55。
【点评】本题考查的是高斯求和，关键是根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和（首项末项）项数。
5． 52 。
【分析】，两两配对合成8，有4个8，也就是32；再加上9和11即可计算。
【解答】解：
故答案为：52。
【点评】此题的关键是观察式子找出简便计算方法，然后再进一步解答。
6．在数学学习过程中，我们要不断培养自己敏锐的观察能力，请你仔细观察下列算式后填空。
200 。
【分析】相对应的前后两项的和都是200，所以就相当于求5个200是多少，用乘法计算即可。
【解答】解：。
故答案为：200；5。
【点评】解答本题关键是找到规律，再解答。
7．想一想，填一填：
40000
【分析】算式：中的加数构成一个首项为1，公差为“2”的等差数列，末项为399，项数未知，关键在于求出项数，根据项数的公式即可求出。因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和（首项末项）项数。
【解答】解：项数
原式
故答案为：40000。
【点评】高斯求和其它相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差。
8．你一定知道小高斯快速求出： ．请你继续观察：，，，，，求出： ．
【分析】高斯求和公式为：等差数列和（首项尾项）项数，所以；由于，，，，，由此可以发现，几个连续自然数的立方的和等于这几个连续自然数的和的平方，即．
【解答】解：根据高斯求和公式可知，
；
由，，，，，可以发现：
．
故答案为：；．
【点评】在认真分析所给等式的基础上发现规律，并将规律进行总结是完成本题的关键．
9．小华被某公司聘用，第一年年薪5万元，以后每年都比前一年多2万元．小华第四年年薪 11 万元，前四年年薪一共 万元．
【分析】根据题意可得，这是一个等差数列，首项是5，公差是2，求第四年的年薪根据“末项首项（项数公差”解答；求四年年薪一共多少元，根据“等差数列和（首项末项）项数”解答即可．
【解答】解：
（万元）
（万元）
答：小华第四年年薪11万元，前四年年薪一共32万元．
故答案为：11；32．
【点评】本题考查了等差数列的实际应用；高斯求和相关公式：等差数列和（首项末项）项数；末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差．
10．计算
502.5 ．
【分析】先根据同分母分数的计算方法计算，然后把分子根据高斯求和公式求和，再约分计算即可．
【解答】解：
故答案为：502.5．
【点评】本题考查了分数的巧算，关键是根据高斯求和公式求出分子的和．等差数列和（首项末项）项数．
三．计算题（共2小题）
11．计算。
。（要求简便计算）
【分析】根据高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它们的和是多少；然后用所得的和乘所有的加数的个数，再除以2，求出算式的值是多少即可。
【解答】解：
【点评】高斯求和属于等差数列的求和，等差数列和（首项末项）项数。
12．你能想办法又快又准地算出的结果吗？试一试，并用计算器验证．
【分析】根据高斯求和法，，，从而得出，得出结果，然后用计算器验证，即可得解．
【解答】解：
计算器计算：
【点评】此题考查了整数的求和计算，利用简便方法可以提高计算的速度，然后用计算器计算验证．
四．解答题（共7小题）
13．雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住 11 号．
【分析】根据题意，雅雅家所在的平安街所有各家门牌号之和应大于10000，找出连续自然数相加大于10000的最小和，再减去10000即可解答．
【解答】解：140家门牌号码之和为：，这个数小于10000，不符合题意；
141家门牌号数之和为10011，雅雅家门牌号数是（号；
142家的门牌号之和为10153，雅雅家的门牌号是（号，这里我们设定是142家，而由题意可知：142家不会有一家的门牌号是153，即这是不可能的；
当设定有142家以上时，也会出现这种矛盾，所以平安街只能有141家，雅雅家门牌号一定是11号．
答：雅雅家门牌号是11号．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查数字和问题，求出前141家的门牌号数之和是解答本题的关键．
14．计算：．
【分析】根据高斯求和公式变形后，通过分子分母约分即可简算．
【解答】解：
【点评】本题先观察数据的变化特点，然后套用高斯求和公式解答．高斯求和相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差．
15．小李计算从1开始的若干个连续自然数的和，结果不小心把1当成10来计算，得到错误的结果恰好是100．那么小李计算的这些数中，最大的一个是多少？
【分析】1当成10来计算，即这多加了，则这个等差数列的和原来应为，已知，首项及等差数列的和，可设数列中最大的数即末项为，又此等差数列为连续的自然数，末项即项数，则根据高斯求和公式可得方程：．解此方程即可．
【解答】解：设数列中最大的数即末项为，可得方程：
，
．
答：小李计算的这些数中，最大的一个是13．
【点评】完成本题的关键是明确把1当成10来计算即比原来多加了9，然后再据求和公式列出等量关系式．
16．吉祥社区举行广场舞大赛。东都花园代表队第一排有6人，后面每一排都比前一排多1人，一共站了5排。这个代表队一共有多少人？
【分析】先算出最后一排有多少人，再根据高斯求和的方法，用第一排人数与最后一排的人数的和乘排数，最后用这个积除以2就是总人数。
【解答】解：（人
（人
答：这个代表队一共有40人。
【点评】计算等差数列的所有数的和，类似于求梯形面积，用最小数与最大数的和乘数列中数的个数，再用这个积除以2即可。
17．你听过被誉为“数学之王”的德国数学家高斯的故事吗？高斯小时候聪明过人，他在上小学时，有一天数学老师出了一道题让同学们计算：
？
你会用简便方法计算吗？
【分析】观察式子，发现是1到100连续的整数相加，观察第1个数和第100个数，第2个数和第99个数，第3个数和第98个数，，第49个数和第50个数的和；可以发现式子的第一项和倒数第一项、第二项和倒数第二项、第三项和倒数第三项、一直到中间两项的和都是101；这组数一共有组数的和是101，据此即可得到答案。
【解答】解：
【点评】本题考查了高斯求和公式的灵活运用。
18．幼儿园给小朋友们发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具上都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？
【分析】分析题意可知，此题为等差数列，回忆高斯求和公式；此题是求首项，公式为：首项末项（项数公差；末项是98，项数是32，公差是3，代入公式计算即可。
【解答】解：
（号
答：第一个小朋友手上的玩具是5号。
【点评】本题考查了高斯求和公式的灵活运用。
19．编号为的九个盒中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米，如果1号盒子内放了11粒米，问后面的盒子比前一号的盒子多放几粒米？
【分析】已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米，即编号为的九个盒中的粒数构成等差数列，首项是11，项数是9，设每个盒子都比前一个盒子多粒米，即公差是，根据高斯求和公式：和首项项数项数（项数公差列方程解答即可．
【解答】解：设每个盒子都比前一个盒子多粒米，



答：后面的盒子比前一号的盒子多放7粒米．
【点评】高斯求和相关公式：等差数列和（首项末项）项数，末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差，高斯求和公式：和首项项数项数（项数公差．(a1+an)×n
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