专题1 加法原理和乘法原理-小升初数学模块化思维提升（人教版）练习含答案

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（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法…，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2…+mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的分类方法．
基本特征：每一种方法都可完成任务．
2、乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的完成步骤．
基本特征：每一步只能完成任务的一部分．
【典例一】从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，选取三个数使它们的和能被3整除，那么不同的选法有多少种？
【分析】①先求出两个极值．共2种，
②和为、、，共3种，
③和为，共5种，
④和为，共3种，
再利用加法原理即可解决问题．
【解答】解：（种，
答：不同的选法有13种．
【点评】此题抓住能被3整除的数的特征，利用加法原理即可解决．
【典例二】
学校组织同学们去春游，小英想请大家帮助她选一套衣服，小英的衣柜里有红、黄、蓝三件上衣，有白、粉、黑三条裤子，有红、白、黑三双皮鞋．请你帮助小英想一想，她有多少种不同的搭配方法．
【分析】根据题意知道，选上衣有3种选法，选裤子有3种选法，选皮鞋有3种选法，根据乘法原理，即可得出答案．
【解答】解：（种
答：她有27种不同的搭配方法．
【点评】本题考查了简单的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．由于情况数较少还可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏．
【典例三】
从王叔叔家到滨江站可以坐地铁，也可以坐过江专线．从滨江站到师范大学可以坐轻轨，也可以坐电车．
第一种：
第二种：
第三种：
第四种：
【分析】从王叔叔家到滨江站有2种不同的方法，从滨江站到师范大学也有2种不同的选择方法，一共有种方法，依次分别写出即可．
【解答】解：（种
一共有4种不同的方法，它们是：
第一种：王叔叔家滨江站师范大学
第二种：王叔叔家滨江站师范大学
第三种：王叔叔家滨江站师范大学
第四种：王叔叔家滨江站师范大学．
【点评】本题用乘法原理去考虑问题，在列举时，要注意有顺序地写出，做到不重不漏．
一．选择题（共8小题）
1．学校举办班级乒乓球比赛．共有16支球队参加，比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）．一共要进行 场比赛后才能产生冠军．
A．13B．14C．15D．16
【分析】16支球队参加比赛．决赛阶段以单场淘汰制进行：打（场决出8强，再打（场决出四强，再打（场决出冠亚军，最后打一场决出冠军，一共要打：（场．
【解答】解：一共进行：
，
，
（场．
答：一共要进行15场比赛后才能产生冠军．
故选：．
【点评】在单场淘汰制中，如果参赛队是偶数，则决出冠军需要比赛的场数队数．
2．小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有 种不同的捐法．
A．3B．4C．7D．12
【分析】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事类图书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有种不同的捐法．
【解答】解：（种．
所以共有12种不同的捐法．
故选：。
【点评】乘法原理与加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这两种原理的区别．
3．从到有两条路可走，从到有三条路可走，那么，从到有 条可走．
A．5条B．6条C．4条D．无数条
【分析】从经到的走法：从到有2种走法，从到有3种走法，由此利用乘法原理即可解答．
【解答】解：（条；
答：从地经地到地共有6条路可走．
故选：．
【点评】此题考查了乘法原理，要做一件事，完成它若是有类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．
4．为庆祝六一儿童节，六年级同学准备了3个合唱节目和2个舞蹈节目，现在准备从中选出2个合唱节目和1个舞蹈节目参加学校六一演出，一共有 种选择方案。
A．3B．4C．5D．6
【分析】合唱从3种选择中选择2种，有3种不同的选择方法，而舞蹈从2个舞蹈节目中选择1个有2种不同的选择方法，根据乘法原理，它们的积，就是全部的选择的方法．
【解答】解：（种
答：一共有6种选送方案．
故选：．
【点评】本题考查了排列组合中的分步计数原理，即做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．
5．李华有2件上衣和2条裤子，要配成一套衣服，有 种不同的搭配方法．
A．2B．4C．6D．8
【分析】从2件上衣中选一件有2种选法；从两条裤子中选一件有2种选法；要配成一套衣服，根据乘法原理可得，共有：种不同的搭配方法．
【解答】解：根据分析可得，
（种
答：共有4种不同的搭配方法．
故选：．
【点评】本题用乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．
6．在中，任取两个和小于100的数，共有多少种不同的取法？
A．5051B．1420C．2401
【分析】根据任取两个和小于100的数可知，99分解成差最大的两个数是1和98，最小的两个数是49和50，所以根据第一个加数是，分组讨论即可得出答案．
【解答】解：1有97种不同的取法，
2有95种不同的取法，
3有93种不同的取法，
4有91种不同的取法，
48有3种不同的取法，
49有1种不同的取法，
所以共有：，
，
（种；
答：共有2401种不同的取法．
故选：．
【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有类方法，第一类中又有种方法，第二类中又有种方法，，第类中又有种方法，那么完成这件事情就有种方法；本题关键是确定和最大是99，而加数最接近的两个数49和50．
7．妈妈准备给萌萌买一个小沙发，再配一个小靠垫。她们看中了3款小沙发和3种小靠垫（如图），一共可以有 种不同的搭配方法。
A．3B．6C．9
【分析】每种小沙发都可以和其余3种抱枕中的1种搭配在一起，有3种搭配方法。一共有3种小沙发，就有种搭配方法。
【解答】解：（种
答：一共可以有9种不同的搭配方法。
故选：。
【点评】本题考查了乘法原理的应用。
8．同学们去野餐，每人带一份盒饭，每份盒饭要含一个荤菜和一个素菜。荤菜有排骨和鱼，素菜有白菜、黄瓜和油菜，厨师共有 种不同的配菜方法。
A．3B．5C．6
【分析】搭配方法有：排骨和白菜，排骨和黄瓜，排骨和油菜，鱼和白菜，鱼和黄瓜，鱼和油菜。
【解答】解：同学们去野餐，每人带一份盒饭，每份盒饭要含一个荤菜和一个素菜。荤菜有排骨和鱼，素菜有白菜、黄瓜和油菜，厨师共有6种不同的配菜方法。
故选：。
【点评】掌握搭配的方法是解题关键。
二．填空题（共8小题）
9．笑笑童装店新进了一批童装，上衣有三种颜色，裤子有两种颜色。如果一件上衣、一条裤子搭配成一套服装，这些上衣与裤子可以有 6 种不同的搭配。
【分析】用一件上衣与裤子进行搭配时，有2种不同的搭配方法，有3件上衣，则有3个2种搭配的方法。
【解答】解：（种
答：这些上衣与裤子可以有6种不同的搭配。
故答案为：6。
【点评】解答此题的关键在于理解乘法的意义。
10．4名同学参加接力赛比赛，其中1人必须跑第一棒，其他3人有 6 种排法。
【分析】其中1人必须跑第一棒，有1种选择，剩下的人分别有3、2、1种选择，然后根据乘法原理解答即可。
【解答】解：（种
答：其他3人有6种排法。
故答案为：6。
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
11．学校大队部培养了3名男播音员，4名女播音员，每次播音需要男、女播音员各1名，有 12 种不同的安排方法．
【分析】从3名男播音员中选择1人有3种不同的选择方法，从4名女播音员选择1人有4种不同的选择方法，根据乘法原理，它们的积，就是全部的方法．
【解答】解：（种
答：有 12种不同的安排方法．
故答案为：12．
【点评】乘法原理：如果完成一件任务需要分成个步骤进行，做第1步有种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有种方法不管前面步用哪种方法，第步总有种方法，那么完成这件任务共有：种不同的方法．
12．小明有4件不同的上衣，3条不同的裤子，现将1件上衣和1条裤子搭配成一套衣服，他一共有 12 种穿法．
【分析】从4件上衣中选一件有4种选法；从3条裤子中选一条有3种选法；要配成一套衣服，根据乘法原理可得，共有：种不同的穿法．据此解答即可．
【解答】解：（种；
答：他一共有12种穿法．
故答案为：12．
【点评】本题考查了利用乘法原理解决排列组合问题，即做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．
13．文具盒的密码数字有两位，每个数字是中的任一数字．如果不知道密码的同学开锁，需要试验的密码有 100 种，如果他知道其中的一个数字，他需要试验的密码有 种．
【分析】（1）每位上都可以出现这十个数字，即十位和个位都有10种选择；根据乘法原理可得共有种；
（2）如果他知道其中的一个数字，即另一个数位有10种选择；根据乘法原理可得共有种．
【解答】解：（1）（种
（2）（种
答：如果不知道密码的同学开锁，需要试验的密码有 100种，如果他知道其中的一个数字，他需要试验的密码有 10种．
故答案为：100；10．
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．
14．张老师有一些衬衫和领带，一共有12种不同的穿法，猜一猜张老师可能有 1（或2、3、4、6、 件衬衫， 条领带．
【分析】根据乘法原理可知，12种穿法是衬衫数和领带数的乘积，所以把12拆成两个数的积，即可得解．
【解答】解：，
所以衬衫和领带可能有1件、12条，或2件、6条，或3件、4条，或4件、3条，或6件、2条，或12件、1条；
故答案为：1（或2、3、4、6、，12（或6、4、3、2、．
【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题 即做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．
15．口袋里有12个红球，2个黄球，6个花球，除颜色外全部相同，任意摸出一个球，颜色有 3 种可能．
【分析】因为口袋里有红、黄、花三种颜色的球，所以任意摸出一个球，可能摸到红球，也可能摸到黄球，还可能摸到花球，因此有3种可能．
【解答】解：因为有三种颜色的球，每种颜色的球都有可能摸到，所以任意摸出一个球，有3种可能．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查可能性，根据颜色判断即可．
16．将1，2，3，4，5分别填入图中的格子，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 16 种不同的填法．
【分析】5，4填在黑格里，根据乘法原理共有种填法；5，3填在黑格里，根据乘法原理共有种填法；根据加法原理可得共有种填法．
【解答】解：5，4填在黑格里，有种；
5，3填在黑格里，有种；
种．
故答案为：16．
【点评】考查了加法原理和乘法原理，注意5只能填在黑格里，因为5是这5个数中最大的；第二种填法中4只能填在5旁边，且不能是中间，因为它比3大；而每一种填法，两个黑格里的都能调换位置，所以，要乘以2．
三．解答题（共10小题）
17．一共有多少种穿法？搭配后，你发现了什么？
【分析】根据题意，每1件上装都可以搭配任意1条下装，每件上装与3条下装有3种搭配方法，有2件上装，用乘法计算即可。
【解答】解：（种
答：一共有6种穿法，发现每1件上装都有3条下装可以选择。（发现答案不唯一）
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
18．从科技馆到学校的走法有多种，请选择其中的两种走法计算长度。如果坐出租车，你选择的走法，起步价够吗？
【分析】从学校到公园有2条路可以走，从公园到科技馆一共有3条路可以走，一共是有条不同的路，然后求出其中2条路的长度相加，然后找出小于3千米的路程即可判断。
【解答】解：3千米米
第一条：（米
，所以第一条路起步价够；
第二条：（米
，所以第二条路起步价不够。（答案不唯一）
答：如果坐出租车，我选择的走法，第一条路起步价够；第二条路起步价不够。
【点评】本题先根据乘法原理求出路的总条数，然后选出其中两条求出路的长度，再与3千米比较即可求解。
19．一把钥匙开一把锁，现在有6把钥匙和6把锁，但不知怎么相配。那么最少要试多少次才能确保钥匙和锁全部匹配？
【分析】开第1把锁，从最坏的情况考虑，试了5把钥匙还未成功，则第6把不用再试了，一定能打开这把锁，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的5把锁和5把钥匙，最坏的情况要试4次，把这把钥匙和这把锁拿出；与上步分析同理依次类推，将每次最坏需要的次数相加可得到总共要试的次数。
【解答】解：利用加法原理，
（次
答：最多要试15次才能配好全部的钥匙和锁。
【点评】本题主要考查加法原理的应用。
20．李老师要给8名同学购买衣服，款式如图．
（1）一件上衣和一条裤子配成一套衣服，有 6 种不同的搭配方法．
（2）每人买一套一样的衣服，李老师最多要花多少元？
【分析】（1）从3条不同的裤子中选一件有3种选法、从2件上衣中选一件有2种选法，根据乘法原理可得共有种不同的穿衣搭配方法．
（2）要使李老师花的钱最多，把单价最贵的裤子和单价最贵的上衣的钱数相加即可求出每套的单价，再乘8即可．
【解答】解：（1）（种
答：一件上衣和一条裤子配成一套衣服，有 6种不同的搭配方法．
（2）（元
（元
答：李老师最多要花1600元．
【点评】本题需要用乘法原理和整数加乘法的意义去考虑问题；乘法原理：完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事就有种不同的方法．
21．甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？
【分析】要求抓取式子的方案种数，即求几个2或几个3或几个4的和是12。
【解答】解：利用加法原理，分类列举：
①；；，共三种情况；
②，共六种情况；
③，共五种情况；
④，共十种情况；
⑤，共十二种情况，
所以一共有36种情况。
【点评】本题是一道有关加法原理（分类枚举）（奥数）的题目。
22．学校积极开展体艺“”活动，即：每个学生至少学习掌握两项体育运动技能和一项艺术特长．王老师为大家提供了如表的参考信息：
（1）根据王老师的参考信息，小林同学按王老师的参考建议选择2种体育项目和一项艺术项目参加，共有 6 种选择方案．
（2）经过市场调研，王老师了解相关器材价格如下表：
小林用100元买了一副乒乓球拍后，剩下的钱还能买几只口琴？（列式解答）
【分析】（1）小林同学按王老师的参考建议选择2种体育项目和一项艺术项目参加，可以有如下选择方案：①乒乓球、足球、口琴；②乒乓球、足球、竖笛；③乒乓球、篮球、口琴；④乒乓球、篮球、竖笛；⑤足球、篮球、口琴；⑥足球、篮球、竖笛．
（2）一副乒乓球拍的价钱是60元，用100元减60元就是剩下的钱数．口琴的价钱是16元．根据“数量总价单价”，用剩下的钱数除以口琴的价钱就是能买的只数（除不尽时用“去尾法”求近似值）．
【解答】解：（1）根据王老师的参考信息，小林同学按王老师的参考建议选择2种体育项目和一项艺术项目参加，共有6种选择方案：
①乒乓球、足球、口琴；②乒乓球、足球、竖笛；③乒乓球、篮球、口琴；④乒乓球、篮球、竖笛；⑤足球、篮球、口琴；⑥乒乓球、篮球、竖笛．
（2）
（只
答：剩下的钱还能买2只口琴．
【点评】此题是考查如何从统计表中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题．
23．用下面四张卡片摆成不重复的两位数．
（1）可以摆多少个两位数？请你写出来．
（2）可以摆成多少个个位是单数的两位数？请你写出来．
【分析】（1）先排十位，因为0不能放在十位上，所以有3种排法；再排个位，有3种排法，共有种；据此写出即可．
（2）先排个位，因为3、5只能放在个位上，所以有2种排法；再排十位，因为0不能放在十位上，所以有2种排法；共有种；然后列举即可．
【解答】解：（1）共有（个
分别是：30、50、80、53、83、35、85、38、58．
答：可以摆9个两位数，分别是30、50、80、53、83、35、85、38、58．
（2）共有（个
分别是：53、83、35、85．
答：以摆成4个个位是单数的两位数，分别是53、83、35、85．
【点评】本题考查了乘法原理，如果情况数较少可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏．
24．老师拿来6种不同的画报，4种不同的儿童文学．小明从这两种书中任意借一本书，请问一共有多少种不同的借法？
【分析】分类选择，从6种不同的画报选择一本，有6种不同的选择方法，或者从4种不同的儿童文学选择1本有4种选择的方法，一共有（种借法．
【解答】解：（种
答：一共有10种不同的借法．
【点评】本题考查了分类计数的方法，先求出每一类中有几种选择的方法，再相加即可求解．
25．2010年南非世界杯足球赛有32支球队参加，第一阶段平均分成8个小组进行小组循环赛，每组前2名球队进入第二阶段复赛，进行淘汰赛，胜者进入下一轮，负者淘汰．直至决出冠军球队，请你来算一算，这届世界杯比赛一共进行了多少场比赛？（注：三、四名决赛也算做一场比赛）
【分析】（1）先分析小组赛，每个小组中的4支球队每两两之间比赛一共要进行6场比赛，然后求出8个小组要进行多少场比赛；
（2）循环赛进行完之后就还剩下16支球队，它们两两比赛就有8场比赛，每进行一轮淘汰赛就球队剩下原来的一半，比赛场数又是球队数的一半，直到只剩一只球队．
【解答】解：每组6场前两名进16强：
（场；
16强进8强是一场定输赢要8场 8进4又要4场 4进2要2场之后冠亚军1场名一场，
（场；
答：本届世界杯一共要举行64场比赛．
【点评】小组赛的比赛的比赛场次是简单的组合问题，可以用连线的方法来分析．淘汰赛每一轮的比赛场次是比赛队伍的一半．
26．小军同学有3顶帽子，5件上衣，4条裤子．
（1）如果小军去上学，每次都穿一件上衣，再配一条裤子，他一共有多少种搭配法？
（2）小军去上学，每次如果再加戴上一顶帽子，他一共有多少种搭配法？
【分析】（1）从5上衣中选一件有5种选法；从4条裤子中选一件有4种选法；根据乘法原理，可得共有：（种；
（2）从3顶帽子中选一顶有3种选法；根据乘法原理，可得共有：（种；据此解答．据此解答．
【解答】解：（1）（种；
答：他一共有20种搭配法
（2）（种；
答：他一共有60种搭配法．
【点评】本题考查了乘法原理，这种类型的题关键是弄清楚怎么分步骤去完成这件事，每一步有多少种选法．序号
体育类
艺术类
1
乒乓球
口琴
2
足球
竖笛
3
篮球
名称
单位
单价（元
名称
单位
单价（元
乒乓球拍
副
60
口琴
只
16
足球
只
50
竖笛
支
20
篮球
只
75